Question

Um pião gira com aceleração angular α= 5 t 3 – 4t, onde t está em segundos e α em radianos por segundo ao quadrado. No instante t=0, a velocidade é 5rad/s e uma reta de referência traçada no pião está na posição angular ɵ= 2rad. (a) Obtenha uma expressão para velocidade angular do pião, w(t). (b) Obtenha uma expressão para a posição angular do pião, ɵ(t).

Answer 1

A velocidade angular do pião é $\omega(t) = t^4 - 2t^2 + 5$ e a posição angular dele é $\theta(t) = t^5/5 - 2t^3/3 + 5t + 2$.

Vamos utilizar integrais indefinidas para calcular as expressões.

a) A aceleração angular é a taxa de variação da velocidade angular em relação ao tempo. Matematicamente temos:

$\alpha = \frac{d\omega}{dt}$

Para a expressão 5t³ - 4t da aceleração angular, vamos ter a seguinte expressão para a velocidade angular:

$5t^3 - 4t = \frac{d\omega}{dt} \\\\d\omega = (4t^3 - 4t)dt\\\\\int\ {d\omega} = \int {(4t^3 - 4t)} \, dt\\\\\omega(t) = t^4 - 2t^2 + C$

Vamos encontrar a constante de integração C. Para isso basta substituirmos a condição de contorno dada no enunciado w(0) = 5 rad/s. Logo:

$\omega(0) = 5\\\\0 - 0 + C = 5\\\\C = 5$

Logo a expressão para a velocidade angular é:

$\omega(t) = t^4 - 2t^2 + 5$

b) A velocidade angular é a taxa com que a posição angular do pião varia ao longo do tempo. Matematicamente:

$\omega(t) = \frac{d\theta}{dt}$

Para a expressão de velocidade angular encontrada na alternativa anterior teremos:

$t^4 - 2t^2 + 5 = \frac{d\theta}{dt}\\\\d\theta = (t^4 - 2t^2 + 5)dt\\\\\int\ \, d\theta = \int\ {(t^4 - 2t^2 + 5)} \, dt\\\\\theta(t) = t^5/5 - 2t^3/3 + 5t + C$

Aplicando novamente a condição de contorno dada θ(0) = 2 radianos, teremos:

θ(0) = 2

0 - 0 + 0 + C = 2

C = 0

Logo a expressão da posição angular do peão é:

$\theta(t) = t^5/5 - 2t^3/3 + 5t + 2$

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