Question

Um pesquisador fez um estudo sobre a maré de um determinado litoral. A partir desse estudo, ele modelou, em relação ao nível do mar, a altura h da maré, em metros, em função do tempo, pela expressão h(x)=4⋅sen(π6x+π4). Nessa expressão, 0≤x<24, sendo que x está definido em horas. Depois de atingir a altura máxima em um dia, de quanto em quanto tempo a maré atingirá essa altura máxima novamente?

Answer 1

Resposta:

$\frac{1}{3}$ horas

Explicação passo a passo:

O que a questão está pedindo, em outras palavras, é o período da função h(x). O período de uma função periódica

$sen(\omega t), cos(\omega t)$

é dado por

$T = \frac{2\pi }{\omega}$

Porém, antes de calcularmos o período, vamos reduzir a função sen(π6x + π4) para uma função somente no formato sen(ot), ok?

Para isso, vamos usar a identidade do seno da soma: sen(a+b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)

Assim:

$sen(\pi 6x + 4\pi ) = sen(\pi 6x)cos(4\pi ) + sen(4\pi )cos(\pi 6x)\\sen(4\pi ) = 0 \\cos(4\pi ) = 1$

O seno(4π) é 0 pois é um múltiplo inteiro de π, enquanto cos(4π) é 1 pelo mesmo motivo, basta olhar o ciclo trigonométrico.
Então, chegamos a conclusão que:

$h(x) = 4(sen(\pi 6x))$

E agora podemos avaliar o período dela com a fórmula que eu mencionei anteriormente:

$T = \frac{2\pi }{6\pi } = \frac{1}{3}$

E essa é o período, em horas.