Question

Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável é Normalmente distribuída com variância igual a 4 unidades².
Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 10 obtendo-se os seguintes valores:
7,9 6,8 5,4 7,5 7,9 6,4 8,0 6,3 4,4 5,9
(a) Calcule a estimativa pontual da média populacional, com base nesta amostra.
(b) Determine o intervalo de confiança para a resistência média com um coeficiente de confiança de 90%.
(c) Qual o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido, ao estimarmos a resistência média, não seja superior a 0,3 unidades com probabilidade 0,90? E se quiséssemos um erro máximo de 0,1 unidades com a mesma probabilidade?
(d) Suponha que no item (b) não fosse conhecido o desvio padrão. Como você procederia para determinar o intervalo de confiança para a média populacional, e que suposições você faria para isso?

Answer 1

a)

Vou usar a estimativa da máxima verossimilhança :

κ: vou chamar de x barra , a média amostral

f(x,μ,σ) = √(2πσ²) * exp(-1/2σ² * (x-μ)²

ln(x,μ,σ) =1/2 * (2πσ²) + ln exp(-1/2σ² * (x-μ)²)

ln(x,μ,σ) =1/2 * (2πσ²) + (-1/2σ² * (x-μ)²)

d ln(x,μ,σ)/dμ = (-1/2σ² ) *2* (x-μ) * (-1)

d ln(x,μ,σ)/dμ = (1/σ² ) (x-μ) = 0 ==> x-μ=0 ==>x =μ

d² ln(x,μ,σ)/dμ² = -μ < 0 , é de máximo

A estimativa de máxima verossimilhança de k = μ ( é a média populacional)

μ = ( 7,9 + 6,8 + 5,4 +7,5 +7,9 +6,4 + 8,0 + 6,3 + 4,4+ 5,9)/10 = 6,65

b)

Vou usar o método do Pivot

k é a média amostral

(k -μ)/√(4/10) ~ N(0,1)

P( -z < (k -μ)/√(4/10) < z ) = 90%

z = (1+0,9)/2 = 0,95 ==> tabela da Normal Padrão em anexo z=1,65

P( -1,65 < (k -μ)/√(4/10) < 1,65 ) = 90%

P( -1,65√(4/10) < (k -μ) < 1,65√(4/10) ) = 90%

P( -1,65√(4/10) -k < -μ < 1,65√(4/10) -k ) = 90%

P( -1,65√(4/10) +k < μ < 1,65√(4/10) +k ) = 90%

IC-90%( μ ) = [ -1,65√(4/10) +6,65 < μ < 1,65√(4/10) +6,65]

c)

IC-90%( μ ) = [ -1,65√(4/n) +6,65 < μ < 1,65√(4/n) +6,65] =90%

1,65√(4/n) +6,65 - [ -1,65√(4/n) +6,65] ≤ 0,3

1,65√(4/n) +1,65√(4/n) ≤ 0,3

2 * 1,65√(4/n) ≤ 0,3

√(4/n) ≤ 0,09091

4/n ≤ 0,0082645

n ≥ 4/0,008265 ==> n ≥ 483,97 ==> n ≥ 484

d)

ζ é uma Quiquadrada (n-1) ~ S²(n-1)/σ²

k é a média amostral e S² é variância amostral

Usaria como Pivot a relação (k-μ)/(√(σ²/n) ( / √ζ/(n-1) ~ uma distribuição t n-1

Usaríamos como Pivot (k-μ)/(√(σ²/n) / √[S²(n-1)/σ²(n-1) ]

eliminaríamos σ² e ficaríamos como Pivot (k-μ)/(√(1/n) / √[S²(n-1)/(n-1) ]

Usaríamos a tabela da t , sendo t os quartis da t e -t (1+α)/2

IC=[-t < (k-μ)/(√(1/n) / √[S²(n-1)/(n-1) ] < t]

OBs: Teríamos que considerar a independência entre os estimadores...

 

Answer 2

a) μ = 6,65.

Pela estimativa da máxima verossimilhança :

κ: vou chamar de x barra , a média amostral

f(x,μ,σ) = √(2πσ²) * exp(-1/2σ² * (x-μ)²

ln(x,μ,σ) =1/2 * (2πσ²) + ln exp(-1/2σ² * (x-μ)²)

ln(x,μ,σ) =1/2 * (2πσ²) + (-1/2σ² * (x-μ)²)

d ln(x,μ,σ)/dμ = (-1/2σ² ) *2* (x-μ) * (-1)

d ln(x,μ,σ)/dμ = (1/σ² ) (x-μ) = 0 ==> x-μ=0 ==>x =μ

d² ln(x,μ,σ)/dμ² = -μ < 0 , é de máximo

A estimativa de máxima verossimilhança de k = μ ( é a média populacional)

μ = ( 7,9 + 6,8 + 5,4 +7,5 +7,9 +6,4 + 8,0 + 6,3 + 4,4+ 5,9)/10 = 6,65

b) IC-90%( μ ) = [ -1,65√(4/10) +6,65 < μ < 1,65√(4/10) +6,65]

Pelo método do Pivot

k é a média amostral

(k -μ)/√(4/10) ~ N(0,1)

P( -z < (k -μ)/√(4/10) < z ) = 90%

z = (1+0,9)/2 = 0,95 , da tabela da Normal Padrão em anexo z=1,65

P( -1,65 < (k -μ)/√(4/10) < 1,65 ) = 90%

P( -1,65√(4/10) < (k -μ) < 1,65√(4/10) ) = 90%

P( -1,65√(4/10) -k < -μ < 1,65√(4/10) -k ) = 90%

P( -1,65√(4/10) +k < μ < 1,65√(4/10) +k ) = 90%

IC-90%( μ ) = [ -1,65√(4/10) +6,65 < μ < 1,65√(4/10) +6,65]

c) n ≥ 484

IC-90%( μ ) = [ -1,65√(4/n) +6,65 < μ < 1,65√(4/n) +6,65] =90%

1,65√(4/n) +6,65 - [ -1,65√(4/n) +6,65] ≤ 0,3

1,65√(4/n) +1,65√(4/n) ≤ 0,3

2 * 1,65√(4/n) ≤ 0,3

√(4/n) ≤ 0,09091

4/n ≤ 0,0082645

n ≥ 4/0,008265

n ≥ 483,97

n ≥ 484

d) IC=[-t < (k-μ)/(√(1/n) / √[S²(n-1)/(n-1) ] < t]

lembre-se de que:

ζ é uma Quiquadrada (n-1) ~ S²(n-1)/σ²

k é a média amostral e S² é variância amostral

Usaria como Pivot a relação (k-μ)/(√(σ²/n) ( / √ζ/(n-1) ~ uma distribuição t n-1

(k-μ)/(√(σ²/n) / √[S²(n-1)/σ²(n-1) ]

(k-μ)/(√(1/n) / √[S²(n-1)/(n-1) ]

De acordo com a tabela da t , sendo t os quartis da t e -t (1+α)/2

IC=[-t < (k-μ)/(√(1/n) / √[S²(n-1)/(n-1) ] < t]

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