Question

Um peso W é suportado por três polias sem atrito e sem massa e uma mola de rigidez K, como mostrado na figura. Determine a frequência natural de vibrações do peso W para pequenas oscilações.

Answer 1

Resposta:

Nesse caso a frequência de oscilação seria:

$f=\pi \sqrt{\frac{W}{2gK}}$

Explicação:

Primeiramente, vamos encontrar o peso que efetivo que a mola sofre por ação de W.

Sabemos que o a força peso é distribuído igualmente para cada lado da corda, a cada roldana movel o qual passa, seguindo a seguinte propriedade:

$Pe = \frac{W}{2^n}$

Onde Pe é o peso efetivo e n é o número de roldanas moveis, notemos que as três roldanas da figura são moveis, então n = 3, sendo assim:

$Pe = \frac{W}{2^3} = \frac{W}{8}$

Assim encontramos nosso peso efetivo, então agora vamos determinar a prosição de equilibrio desta mola. A posição de equilibrio acontece quando a força elastica se iguala a força peso efetiva sobre a mola, neste caso:

$Kx = \frac{W}{8}$

$x = \frac{W}{8K}$

Assim temos nossa posição de equilibrio, x = W/8K. Pequenas oscilações irão acontecer quando qualquer força atuar sobre essa mola q o ponto de equilibrio seja deslocado minimamente de x para x + Δx, então usando a segunda lei de newton:

$F = -K(x + \Delta x) + \frac{W}{8}$

$F = -Kx + K\Delta x + \frac{W}{8}$

Sabendo que:

$-Kx + \frac{W}{8} = 0$

Então:

$F = K\Delta x$

E:

$m.a = K\Delta x$

$m.\frac{d^{2} x}{dt^{2} } = Kx$

Onde a massa efetiva do objeto oscilando é P/g, assim:

$m = \frac{W}{8g}$

Então:

$\frac{W}{8g}.\frac{d^{2} x}{dt^{2} } = Kx$

$\frac{d^{2} x}{dt^{2} } = \frac{8gK}{W}x$

$\frac{d^{2} x}{dt^{2} } - \frac{8gK}{W}x = 0$

Assim temos que nossa frequência angular ω é:

$\omega^{2}=\frac{8gK}{W}$

$\omega^{2}=\frac{8gK}{W}$

$\omega=\sqrt{\frac{8gK}{W}}$

E como a frequência f é igual a 2π/ω, então:

$f=2\pi \sqrt{\frac{W}{8gK}}=\pi \sqrt{\frac{W}{2gK}}$