Um pecuarista possui 200 cabeças de gado, sendo que cada animal pesa, atualmente, 300 kg. Até agora, ele gastou R$ 380.000,00 com a criação dos bois e continuará gastando R$ 2,00 por dia para manter cada um deles. Os animais aumentam seu peso a uma taxa de 1,5 kg/dia. O preço de venda, no dia de hoje, é de R$ 18,00 o quilo, mas sabe-se que diminuirá R$ 0,05 por dia. Quantos dias o pecuarista deveria aguardar para vender seu gado a fim de obter o lucro máximo?
Soluções para a tarefa
Venda = 200 * (300 + 1,5x) * (18 - 0,05x)
Custo = 380 000 + 2x
Lucro = Venda - Custo = MÁXIMO ?
200 * (300 + 1,5x) * (18 - 0,05x) - (380 000 + 2x) = L
Para obter o lucro máximo, derivamos com relação a x:
L' = 200 [1,5(18-0,05x)+(300+1,5x)*(-0.05)]-2 = 0
200(27-0,075x-15-0,075x)-2=0
12-0,15x=2/200=0,01
0,15x=12-0,01
0,15x=11,99
x=11,99/0,15
x≈ 79,93 dias
Aguardando 80 dias irá obter o lucro máximo!
Espero ter ajudado!
Resposta:
Explicação passo a passo:
Bois:
b=200
Peso de cada boi:
p=300 Kg
Custo até o momento
380.000 reais
Neste tipo de problema em que devemos encontrar o lucro, temos a seguinte relação:
Lucro = ( peso total dos bois X preço ao Kg ) – custo total da criação
Obtendo cada relação da equação acima separadamente em função de dias, pois o problema nos pede a quantidade de dias para otimizar o lucro.
Peso total dos bois:
O problema nos diz que os 200 bois pesam 300Kg cada e engordam 1,5 kg ao dia, assim temos que
peso total dos bois =
200\cdot 300+200\cdot 1,5d .
Preço ao Kg
O peso do Kg também está variando conforme o passar dos dias na seguinte relação:
preço ao Kg =
18-0,05d .
Custo total da criação
Até o momento o fazendeiro teve um custo de R$ 380000, entretanto a cada novo dia que os bois ficam na fazenda geram mais custos
custo total da criação =
380000+200\cdot 2d .
Substituindo a equação geral obtém-se a seguinte equação
Lucro =
(200\cdot 300+200\cdot 1,5d)\cdot (18-0,05d)-(380000+200\cdot 2d) .
Realizando todas as operações de multiplicação, soma e subtração da equação acima fica-se com:
Lucro =
-15d^{2}+2000d+700000 .
Como queremos saber o lucro máximo, devemos encontrar o ponto onde a função lucro alcança o seu maior valor. Para isto, aplicaremos a derivada e igualamos a zero, pois nos pontos onde a derivada é nula, temos os pontos de máximo e de mínimo.
0=-30d+2000\Rightarrow d\cong 66,6 .
Portanto, o fazendeiro deve o aguardar 67 dias para maximizar seu lucro.