Question

Um passarinho de massa 24 g voa horizontalmente com uma velocidade de 28,5 m/s, quando colide no topo de uma barra vertical homogênea de comprimento l= 2,6 metros e massa M = 244,7 g, que está inicialmente em equilíbrio. O passarinho após à colisão cai na vertical ao lado da base da barra. A colisão faz com que a barra comece a girar em torno de uma dobradiça que a prende no solo. Considere a aceleração da gravidade g = 10 m/segundo ao quadrado.
Qual a velocidade angular da barra ao atingir o solo?

Answer 1

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$\LARGE\green{\boxed{\rm~~~\gray{w_f}~\pink{\approx}~\blue{ 5~[rad/s] }~~~}}$

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EXPLICAÇÃO PASSO-A-PASSO_____✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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☺lá, Pc, como tens passado nestes tempos de quarentena⁉ E os estudos à distância, como vão⁉ Espero que bem❗ Acompanhe a resolução abaixo. ✌

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☔ Vamos resolver nosso exercício em duas etapas:

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1. Encontrar a velocidade angular inicial;
2. Pela conservação de energia encontrar a velocidade angular final.

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☔ Inicialmente devemos considerar que o pássaro colidiu de maneira perfeitamente elástica com o poste, ou seja, ele transferiu todo o seu momento para o poste (R.I.P.). Tendo sido uma transferência de momento com um objeto em movimento circular, temos que o momento transferido pelo pássaro também será um momento angular.

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☔ Temos que a equação para o momento angular é dado da forma

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf L = m \cdot v \cdot R}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\pink{\Longrightarrow}~\Large\sf\orange{L}$ sendo o momento angular;

$\pink{\Longrightarrow}~\Large\sf\orange{m}$ sendo a massa do objeto [g];

$\pink{\Longrightarrow}~\Large\sf\orange{v}$ sendo a velocidade linear do objeto [m/s];

$\pink{\Longrightarrow}~\Large\sf\orange{R}$ sendo a distância entre o ponto de colisão e o centro de rotação [m] (vale observar que R pode ser  encontrado trigonometricamente pelo produto da distância (r) do objeto até o centro de rotação pelo ângulo formado entre a direção da velocidade e a direção da distância r).

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☔ Pela Lei da Conservação de Momento temos que

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$\pink{\boxed{\large\blue{\begin{array}{rcl}&&\\&\sf L_i = L_f&\\&&\\\end{array}}}}$

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☔ Temos que para um corpo extenso em rotação (com uma de suas extremidades fixas a um eixo) podemos encontrar seu momento angular utilizando a equação

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf L = I \cdot w}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\pink{\Longrightarrow}~\Large\sf\orange{I}$ sendo o momento de inércia do objeto $\sf [g \cdot m^2]$;

$\pink{\Longrightarrow}~\Large\sf\orange{w}$ sendo a velocidade angular do objeto [rad/s];

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☔ Por fim, temos que para uma barra com densidade uniforme o seu momento de inércia é dado por

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf I = \dfrac{m \cdot L^2}{3}}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\pink{\Longrightarrow}~\Large\sf\orange{M}$ sendo a massa do objeto [g];

$\pink{\Longrightarrow}~\Large\sf\orange{L}$ sendo o comprimento do objeto [m];

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☔ Com essas informações sabemos que

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➡ $\large\blue{\sf L_i = L_f }$

➡ $\large\blue{\sf m_p \cdot v_p \cdot R_p = \dfrac{m \cdot L^2}{3} \cdot w_i }$

➡ $\large\blue{\sf 24 \cdot 28,5 \cdot 2,6 = \dfrac{244,7 \cdot (2,6)^2}{3} \cdot w_i }$

➡ $\large\blue{\sf 1.778,4 = 551,39 \cdot w_i }$

➡ $\large\blue{\sf w_i = \dfrac{1.778,4}{551,39} }$

➡ $\large\blue{\sf w_i = 3,225~[rad/s] }$

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☔ Com a velocidade angular inicial temos que pela Lei da Conservação de Energia

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$\pink{\boxed{\large\blue{\begin{array}{rcl}&&\\&\sf E_{mec_i} = E_{mec_f}&\\\\&&\\&\sf E_{pot_i} + E_{cin_i} = E_{cin_f}&\\\\&&\\&\sf \diagup\!\!\!\!{m} \cdot g \cdot h_i + \dfrac{\diagup\!\!\!\!{m} \cdot v_i^2}{2} =  \dfrac{\diagup\!\!\!\!{m} \cdot v_f^2}{2}\\\\&&\\&\sf g \cdot h_i + \dfrac{v_i^2}{2} =  \dfrac{v_f^2}{2}&&\\&&\\\end{array}}}}$

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☔ Neste momento devemos considerar que a altura da energia potencial gravitacional inicial é encontrada a partir do centro de massa da barra, que está localizada, neste caso, exatamente na metade da barra, ou seja, 2,6 / 2 = 1,3 m.

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☔ Lembrando que a velocidade linear é equivalente ao produto da velocidade angular pelo raio (v = w * R), sendo R igual à altura do centro de gravidade, então podemos reescrever nossa equação da forma

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➡ $\large\blue{\sf 10 \cdot 1,3 + \dfrac{(3,225 \cdot 1,3)^2}{2} =  \dfrac{(w_f \cdot 1,3)^2}{2}}$

➡ $\large\blue{\sf 13 + \dfrac{17,58}{2} \approx \dfrac{(w_f^2 \cdot 1,69)}{2}}$

➡ $\large\blue{\sf 13 + 8,79 \approx w_f^2 \cdot 0,845 }$

➡ $\large\blue{\sf w_f^2 \approx \dfrac{21,79}{0,845} }$

➡ $\large\blue{\sf w_f^2 \approx 25,78 }$

➡ $\large\blue{\sf \sqrt[2]{\sf w_f^2} \approx \pm \sqrt[2]{25,78} }$

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☔ Assumindo somente a solução positiva teremos

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➡ $\large\blue{\sf w_f \approx 5 }$

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$\LARGE\green{\boxed{\rm~~~\gray{w_f}~\pink{\approx}~\blue{ 5~[rad/s] }~~~}}$ ✅

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☕ Bons estudos.

(Dúvidas nos comentários) ☄

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"Absque sudore et labore nullum opus perfectum est."