Question

Um parque tem 3 pistas para caminhada, X, Y e Z. Ana deu 2 voltas na pista X, 3 voltas na pista Y e 1 volta na pista Z, tendo caminhado um total de 8.420 metros. João deu 1 volta na pista X, 2 voltas na pista Y e 2 voltas na pista Z, num total de 7.940 metros. Marcela deu 4 voltas na pista X e 3 voltas na pista Y, num total de 8.110 metros. O comprimento da maior dessas pistas, excede a média dos comprimento das pistas em: *

a)317
b)340
c)490
d)540
e)600 ​

Answer 1

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⠀⠀⠀☞ Esta  diferença corresponde à 490 [m] (opção c). ✅

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⠀⠀⠀⭐⠀Para realizar este exercício vamos utilizar o escalonamento de Gauss.⠀⭐⠀  

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⠀⠀⠀➡️⠀Oi, Hsha. ✌. Vamos modelar nossas 3 equações:

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$\blue{\Large\sf~~\begin{cases}\sf~I)~~2 \cdot x + 3 \cdot y + z = 8.420\\\\\sf~II)~~x + 2 \cdot y + 2 \cdot z = 7.940\\\\\sf~III)~~4 \cdot x + 3 \cdot y = 8.110\end{cases}}$

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⠀⠀⠀☔ Pelo método de eliminação de Gauss-Jordan podemos operar os coeficientes deste sistema de forma matricial onde, através de operações entre as linhas - operações essas garantidas pelo teorema de Jacobi - possamos zerar os elementos abaixo da diagonal principal para simplificar e auxiliar na sua resolução. Vejamos:

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$\LARGE\begin{array}{l}\sf~I)\\\sf~II)\\\sf~III)\end{array}\blue{\left[\begin{array}{ccc|c}2&3&1&8.420\\1&2&2&7.940\\4&3&0&8.110\end{array}\right]}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Vamos inicialmente trocar as linhas I) e III):

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$\LARGE\begin{array}{l}\sf~III)\\\sf~II)\\\sf~I)\end{array}\blue{\left[\begin{array}{ccc|c}4&3&0&8.110\\1&2&2&7.940\\2&3&1&8.420\end{array}\right]}$

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⠀⠀⠀➡️⠀ Em seguida vamos zerar os coeficientes abaixo de a₁₁ multiplicando a segunda linha por 4 e subtraindo dela I e multiplicando a terceira linha por 2 e subtraindo dela I:

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$\Large\begin{array}{l}\sf~III)\\\sf~4\cdot II-III)\\\sf~2\cdot I-III)\end{array}\blue{\left[\begin{array}{ccc|c}4&3&0&8.110\\0&5&8&23.650\\0&3&2&8.730\end{array}\right]}$

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⠀⠀⠀➡️⠀ Vamos agora zerar o coeficiente abaixo de a₂₂ multiplicando a terceira linha por (5/3) e subtraindo dela II:

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$\large\begin{array}{l}\sf~III)\\\sf~4\cdot II-III)\\\sf~\frac{5 \cdot (2\cdot I-III)}{3} - II)\end{array}\blue{\left[\begin{array}{ccc|c}4&3&0&8.110\\0&5&8&23.650\\0&0&\frac{-14}{3}&-9.100\end{array}\right]}$

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⠀⠀⠀➡️⠀ Daonde obtemos da terceira linha que:

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{-14}{3} \cdot z = -9.100}$

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$\LARGE\blue{\sf z = \dfrac{3 \cdot 9.100}{14}}$

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$\LARGE\blue{\sf z = 1.950~[m]}$

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⠀⠀⠀➡️⠀ Com isto temos para a segunda linha que:

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$\LARGE\blue{\sf 5 \cdot y + 8 \cdot 1.950 = 23.650}$

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$\LARGE\blue{\sf 5 \cdot y + 15.600 = 23.650}$

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$\LARGE\blue{\sf y = \dfrac{23.650 - 15.600}{5}}$

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$\LARGE\blue{\sf y = 1.610~[m]}$

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⠀⠀⠀➡️⠀ Com isto temos, finalmente, para a primeira linha que:

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$\LARGE\blue{\sf 4 \cdot x + 3 \cdot 1.610 = 8.110}$

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$\LARGE\blue{\sf 4 \cdot x + 4.830 = 8.110}$

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$\LARGE\blue{\sf x = \dfrac{8.110 - 4.830}{4}}$

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$\LARGE\blue{\sf x = 820~[m]}$

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⠀⠀⠀➡️⠀ Sabemos portanto que a maior das pistas é a z e que a média destas pistas é de:

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$\LARGE\blue{\sf m = \dfrac{1.950 + 1.610 + 820 }{3}}$

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$\LARGE\blue{\sf m = 1.460~[m]}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Ou seja, a diferença de z para m é de:

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$\LARGE\blue{\sf d = 1.950 - 1.460 = 490~[m]}$

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⠀⠀⠀⭐ O que nos leva à opção c). ✌

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                                           $\qquad\qquad\Huge\green{\boxed{\rm~~~\red{c)}~\blue{ 490 }~~~}}$ ✅

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                             $\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

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⠀⠀⠀☀️ L͎̙͖͉̥̳͖̭̟͊̀̏͒͑̓͊͗̋̈́ͅeia mais sobre escalonamento de sistemas:

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                                     $\huge\blue{\text{\bf\quad Bons~estudos.}}$ ☕

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                                          $\quad\qquad(\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios})$ ☄

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