Question

) Um paralelogramo tem vértice na origem O(0, 0, 0) e lados AO e OB, onde A(1, 2, 3) e B (2,
1, 5). A medida da área desse paralelogramo é:
a) √57 b) √60 c) √61 d) √59 e) √63

Answer 1

Encontrar as coordenadas dos vetores $\overset{\to}{OA}$ e
$\overset{\to}{OB}:$

$\overset{\to}{OA}=A-O\\ \\ \overset{\to}{OA}=(1;\,2;\,3)-(0;\,0;\,0)\\ \\ \overset{\to}{OA}=(1;\,2;\,3)\\ \\ \\ \overset{\to}{OB}=B-O\\ \\ \overset{\to}{OB}=(2;\,1;\,5)-(0;\,0;\,0)\\ \\ \overset{\to}{OB}=(2;\,1;\,5)$


A área do paralelogramo é o módulo do produto vetorial entre $\overset{\to}{OA}$ e$\overset{\to}{OB}:$
 
$\text{\'{A}rea}=\|\overset{\to}{OA}\times \overset{\to}{OB}\|$


Encontrando o produto vetorial:

$\overset{\to}{OA}\times \overset{\to}{OB}\\ \\ =(1;\,2;\,3)\times (2;\,1;\,5)\\ \\ =(\mathbf{i}+2\mathbf{j}+3\mathbf{k})\times (2\mathbf{i}+\mathbf{j}+5\mathbf{k})\\ \\ \\ \begin{array}{ll} =&\mathbf{i}\times 2\mathbf{i}+\mathbf{i}\times \mathbf{j}+\mathbf{i}\times 5\mathbf{k}\\ \\ &+2\mathbf{j}\times 2\mathbf{i}+2\mathbf{j}\times \mathbf{j}+2\mathbf{j}\times 5\mathbf{k}\\ \\ &+3\mathbf{k}\times 2\mathbf{i}+3\mathbf{k}\times \mathbf{j}+3\mathbf{k}\times 5\mathbf{k} \end{array} \\ \\ \\ \begin{array}{ll} =&\mathbf{0}+\mathbf{k}-5\mathbf{j}\\ \\ &-4\mathbf{k}+\mathbf{0}+10\mathbf{i}\\ \\ &+6\mathbf{j}-3\mathbf{i}+\mathbf{0} \end{array} \\ \\ \\ =\mathbf{k}-5\mathbf{j}-4\mathbf{k}+10\mathbf{i}+6\mathbf{j}-3\mathbf{i}\\ \\ =7\mathbf{i}+\mathbf{j}-3\mathbf{k}\\ \\ =(7;\,1;\,-3)$


Logo, a área do paralelogramo é

$\|(7;\,1;\,-3)\|\\ \\ =\sqrt{7^{2}+1^{2}+(-3)^{2}}\\ \\ =\sqrt{49+1+9}\\ \\ =\sqrt{59}\text{ u.a.}$


Resposta: alternativa $\text{d) }\sqrt{59}.$