Um paralelepipedo retangulo tem 284cm quadrado de área total,e a soma dos comprimentos de suas arestas,vale 120cm. Sabendo que seus lados estao em progressão aritmética , quanto vale seus lados ?
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Se as arestas estão em PA, imaginemos que r seja a razão.
Então podemos escrever o valor destas arestas como: x-r, x, x+r
Como existem 4 arestas de cada medida, e a sua soma é 60, podemos escrever:
4(x-r)+4x+4(x+r)=60
Desenvolvendo:
4x-4r+4x+4x+4r=60
Cancelamos os termos 4r e -4r e sobram
12x=60, de onde temos x=5 (esta é a medida da aresta intermediária.
Agora vamos calcular a soma das 6 faces. Elas são iguais duas a duas, então podemos escrever:
2x(x-r)+2x(x+r)+2(x-r)(x+r)=142
Mas x=5, já sabemos, então a expressão anterior fica:
10(5-r)+10(5+r)+2.(25-r^2)=142
Desenvolvendo e simplificando chegamos a:
150-2r^2=142
2r^2=150-142
2r^2=8
r^2=4
r=2
Então a medida das arestas do sólido são 3, 5 e 7
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