Question

Um paralelepípedo formado pelos

vetores u = (a,a,a), v = (2a,2a,3a) e

w = (2a,a,a) com a ∈ R tem volume igual a 8. Determine o valor de a.



a) 1

b) 2

c) 3/2
d) 3
e) 5/2​

Answer 1

Olá, Flávio :)

O volume d'um paralelipípedo formado por três vectores é o módulo do produto misto entre os três vectores, matematicamente :

$\mathsf{\textbf{V} = | \vec{u} \cdot \vec{v} \cdot \vec{w} } |$

O enunciado acima também pode ser escrito na forma de matriz, isto é:

$\left| \begin{array}{ccc} \vec{u}_x & \vec{u}_y & \vec{u}_z \\ \vec{v}_x & \vec{v}_y & \vec{v}_z \\ \vec{w}_x & \vec{w}_y & \vec{w}_z \end{array} \right| = \textbf{V}$

Logo,

$\left| \begin{array}{ccc} a & a & a \\ 2a & 2a & 3a \\ 2a & a & a \end{array} \right| = 8$

$| \underbrace{ 4a^3 + 3a^3 + 2a^3 }_{ \mathtt{Diagonal \: \: principal}} \: - \: \: \underbrace{ ( 2a^3 + 6a^3 + 2a^3 ) \: }_{ \mathtt{Diagonal \: \: secundaria}} | = 8$
$|9a^3 - 10a^3 | = 8 \\ \\ | - a^3 | = 8 \\ \\ a^{\cancel{3} } = 2^{\cancel{3} }$
$\boxed{\boxed{a = 2} }} \end{array}\qquad\checkmark$

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::::::::::::::::::::Bons estudos::::::::::::::::::
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