Question

Um paralelepípedo ABCDEFGH de base ABCD tem volume igual a 9 unidades. Sabendo-se que A(1,1,1), B(2,1,2), C(1,2,2), o vértice E pertence à reta r de equação r : x = −y = 2− z e (AE, i) r é agudo. Mostre as coordenadas do vértice E

Answer 1

As coordenadas para o vértice E são (12, -12, -10).

Geometria Analítica

Ramo da Matemática que estuda distâncias e características de figuras perante a um espaço métrico.

Nessa questão, é necessário que realizemos os seguintes passos:

1. A parametrização da reta;
2. Realizar as distâncias entre os pontos;
3. Realizar o determinante para achar o parâmetro t, por meio ao volume;
4. Verificar as respostas para ver se o ângulo formado entre $\vec{AB}\wedge i$.
5. Encontrar E.

1. A parametrização da reta:

Vamos valor que $x=t$, assim as outras variáveis vão ficar:

$y=-t$

$z=2-t$

2. Realizando as distâncias entre os pontos:

Para realizar a equação característica, vamos fazer todas as distâncias a um ponto fixo, escolhemos A:

$\vec{AB}=(2-1,1-1,2-1)=(1,0.1)$

$\vec{AC}=(0,2-1,2-1)=(0,1,1)$

$\vec{AE}=(1-t,-t-1,2-1-t)=(1-t,-t-1,1-t)$

3. Realizando a matriz:

Agora vamos colocar os vetores dentro a uma matriz para encontrar as possíveis resoluções para t em meio ao volume:

$(1-t)-[(t-1)+(-t-1)]=\left| -t+3\right|=9$:

$.[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AE}]= \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\0 & 1 & 1 \\t-1 &-1-t & 1-t \\\end{pmatrix}$

Realizando as multiplicações em diagonal:

$(1-t)-[(t-1)+(-1-t)]= \left| 3-t\right |=9$

As respostas para t agora se limitam em t=-6 e t =12.

4. Verificando se é agudo ou não

O valor entre o produto de $\vec{AE} *\vec{i}=+$ deve ser positivo para que (AE,i) seja agudo:

Vamos testar o valor de t = -6, substituindo no vetor AE:

$\vec{AE}=(-6-1,-(-6)-1,5+2)=(-7,5,7)$

Multiplicando i:

$\vec{AE}*i=[-7*1,0*5,7*0]=-7$

O produto escalar entre o vetor AE e i não pode ser negativo para ser agudo, então vamos testar a próxima resposta:

$\vec{AE}=(12-1,-12-1,-13+2)=(11,-13,-11)$

Multiplicando i:

$\vec{AE}*\vec{i}=11$

Assim, encontramos o parâmetro correto t=-12

5. Encontrando E

Basta somar A mais vetor AE para encontrar as coordenadas no vetor E:

$\vec{E}=\vec{AE}+\vec{A}=(11,-13,-11)+(1,1,1)=(12,-12,10)$

Assim a resposta para essa questão é (12,-12,-10).

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#SPJ1