Question

Um palíndromo ou capicua é um número, que se lê da mesma maneira nos dois sentidos, ou seja, da esquerda para a direita ou ao contrário, como 333, 1661 e 28482.

Assinale a alternativa correspondente à quantidade de palíndromos que são números pares de cinco algarismos do nosso sistema de numeração.

a) 300
b) 400
c) 500
d) 600
e) 800

Answer 1

Olá!

Temos que determinar a quantidade de palíndromos que são:

1- Cinco algarismos

2- Números pares,

3- Números do nosso sistema de numeração, ou seja do 1 até o 10.

Então com essas caracteristicas temos vamos opções o diferentes combinações que são:

1- Primer e ultimo digito par: como deve ser par, em nosso sistema de numeração só temos: 4 possibilidades (2, 4, 6, 8), e 9 possibilidades para os numeros intermedios ( do 0 até 9, sem incluir um par).

Assim a combinação é = $(P,n, n, n, P) = 4 * 9 = 36$

2- Os dois primeiros e os dois ultimos numeros par: 4 possibilidades (2, 4, 6, 8), e 9 possibilidades para os numeros intermedios ( do 0 até 9, sem incluir um par).

Assim a combinação é = $(P,P, n, P, P) = 4 * 9 = 36$

3- Todos os algarismos pares: temos 4 possibilidades (2, 4, 6, 8)

Assim a combinação é = $(P,P, P, P, P) = 4$

4- O segundo e o quarto algarismo par: 4 possibilidades (2, 4, 6, 8), e 9 possibilidades para os numeros intermedios ( do 0 até 9, sem incluir um par).

Assim a combinação é = $(n,P, n, P, n) = 4 * 9 = 36$

5- Primeiro e ultimo par, segundo e quarto impares iguais, e o tercer algarismo diferente: temos 4 possibilidades (2, 4, 6, 8), 9 possibilidades para os numeros intermedios ( do 0 até 9, sem incluir um par), e 8 possibilidades para o tercer algarismo (do 0 até 9, sem incluir o numeros ja escolhidos)

Assim a combinação é = $(P,n,d,n,P) = 4 * 9 * = 288$

O numero de combinações total é:

$Total = 36 + 36 + 4 + 36 + 288 = 400$

A alternativa correta é: b) 400

Answer 2

Bom, temos que ter um número par de cinco dígitos. Repare que pelo fato do número ter que ser o mesmo quando lido em ambos os sentidos, os dois primeiros dígitos e os dois últimos tem que ser os mesmos. O dígito do meio será a terceira posição em qualquer um dos sentidos, por isso ele fica livre de qualquer restrição.

Agora, para o número ser par deve terminar em (0,2,4,6,8). Como o dígito final será o primeiro quando lido ao contrário, não poderá ser 0, restando assim 4 opções. Uma vez escolhido o último dígito, o primeiro deve ser necessariamente igual, então só temos uma opção para o primeiro dígito.

O penúltimo dígito pode ser qualquer algarismo, então, 10 opções. Como o segundo deve ser igual ao penúltimo, só temos 1 opção.

O dígito do meio não tem restrição nenhuma e portanto 10 opções. Então ficamos com um total de:

T = 1 x 1 x 10 x 10 x 4 = 400