Question

Um oscilador é formado por um bloco de massa igual a 0,500 kg ligado a uma mola. Quando posto para oscilar
com amplitude de 35,0 cm, o oscilador repete o seu movimento a cada 0,500s. Determine (a) o período, (b) a
freqüência, (c) a freqüência angular, (d) a constante de mola, (e) a velocidade máxima e (f) a intensidade da
força máxima que a mola exerce sobre o bloco. R: a) 0,5 seg; b) 2 Hz; c) 4πrad/s; d) 78,9 N/m; e) 4,4 m/s; f) 27,6 N

Alguém pode me ajudar com a resolução deste exercício?? Principalmente na letra "e"

Answer 1

Sabe-se que para uma partícula de massa m presa na extremidade de uma mola com constate elástica k, a energia potencial correspondente à lei de Hooke é dada por:
$\displaystyle U(x)=\frac{1}{2}kx^2~~~(1)$
A partícula oscilará nos pontos $x=\pm A~~~(2)$
o módulo de x é a amplitude da oscilação
podemos obter a seguinte relação:
$\displaystyle v(x)=\pm\sqrt{\left(\frac{2}{m}\right)(E-U(x))}~~~(3)\\\\v(x)=\sqrt{\left(\frac{2}{m}\right)\left(\frac{1}{2}kA^2-\frac{1}{2}kx^2\right)}=\sqrt{\frac{k}{m}}\sqrt{A^2-x^2}~~~(4)$
mas como velocidade é
$\displaystyle \frac{dx}{dt}=\sqrt{\frac{k}{m}}\sqrt{A^2-x^2}~~~(5)$
que pode ser escrito como
$\displaystyle \sqrt{\frac{k}{m}}dt=\frac{dx}{\sqrt{A^2-x^2}}~~~(6)$
que integramos em relação ao tempo de um lado e em relação ao espaço percorrido do outro lado:
$\displaystyle \sqrt{k/m}\int\limits_{0}^{t}dt'=\int\limits_{x_0}^{x}\frac{dx'}{\sqrt{A^2-x^2}}~~~(7)$
Resolvendo essa equação diferencial obtemos (através da substituição trigonométrica)
$\displaystyle \int\limits_{x_0}^{x}\frac{dx'}{\sqrt{A^2-x^2}}=\int\limits_{\phi'_0}^{\phi'}\frac{A\cos\phi d\phi}{\sqrt{A^2-\sin^2\phi}}=\int\limits_{\phi'_0}^{\phi'}d\phi=\phi'-\phi'_0~~~(8)$
voltando na igualdade das integrais:
$\phi'-\phi'_0=\sqrt{\frac{k}{m}}t\implies \boxed{\phi'=\sqrt{\frac{k}{m}}t+\phi'_0}~~~(9)$
Como fizemos a substituição trigonométrica ($x=A\sin\phi,~~x_0=A\sin\phi_0~~~(10)$)
Devolvemos o valor encontrado em (9) para (10), obtendo:
$\displaystyle x=A\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t+\phi_0\right)~~~(11)$
Onde $\omega=\sqrt{k/m}\cdot t~~~(12)$
Seno é uma função periódica com período de oscilação igual a 2π
logo o período é dado por
$\displaystyle \tau=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}~~~(13)$

a) O período nos foi dado pelo próprio enunciado:
"o oscilador repete o seu movimento a cada 0,5s", onde ele diz que ele repete o movimento a cada 0,5s, ou seja, ele leva meio segundo para completar seu movimento, esse é seu período.

b) A frequência é o inverso do período:
$f=\nu=\tau^{-1}$
ou seja:
$\displaystyle \nu=0,5s^{-1}=\left(\frac{1}{2}s\right)^{-1}=2s^{-1}=\boxed{2Hz}$
lembrando que no S.I. Hz = segundo elevado a menos 1

c) A frequência angular pode ser encontrada pela relação (13) que encontramos:
$\displaystyle \tau=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\\\\i)~~~~0,5s=2\pi\omega^{-1}\\\\ii)~~~0,5\omega s=2\pi\\\\iii)~~\omega=\frac{2\pi}{0,5s}\\\\iv)~~\omega=\frac{2\pi}{\frac{1}{2}s}\\\\v)~~\omega=4\pi s^{-1}=\boxed{4~rad/s}$

d) Como sabemos que 
$\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$
manipulando essa fórmula encontramos facilmente k:
$\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\implies k=\omega^2m^{-1}\\\\i)~~~~k=(4 rad/s)^2\cdot2kg\\\\ii)~~~k=(4\pi^2 s^{-2})\cdot2kg\\\\iii)~~k=(39,47841...)\cdot2=78,9568352...N/m\approx\boxed{78,9N/m}$

e) A velocidade máxima é a velocidade instantânea do bloco no ponto menor ponto de sua amplitude. Encontramos o valor da equação do espaço do oscilador (11), para encontrar a velocidade instantânea basta calcular a derivada de x(t).
$\displaystyle v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(A\sin(\omega t+\phi_0)\right)$
Com a regrada da cadeia derivamos facilmente:
$\displaystyle v(t)=\frac{dx}{du}\cdot\frac{du}{dt}\\\\x=A\sin(u)\\\\u=\omega t+\phi_0\\\\i)~~~~v(t)=\frac{d}{du}(A\sin u)\cdot\frac{d}{dt}(\omega t+\phi_0)=A\omega\cos(u)=A\omega\cos(\omega t+\phi_0)$
Como a função cosseno é periódica, e diverge entre -1 e 1 para valores entre π e 2π.
O valor será máximo para um cosseno igual a 1, logo:
$\displaystyle v(t)=A\omega\cos(\omega t+\phi_0)\\\\A=0,35m\\\omega=4\pi$
logo o valor máximo de v é:
$\displaystyle v=4\pi(s^{-1})0,35m=\frac{4\pi\cdot0,35m}{s}=4,39822971502571...m/s\approx\boxed{4,4m/s}$

f) Da mesma forma que fizemos para encontrar a velocidade, fazemos para encontrar a aceleração:
$\displaystyle a(t)=\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{dv}{dt}$
$\displaystyle a(t)=\frac{d}{dt}(A\omega\cos(\omega t+\phi_0))=-A\omega^2\sin(\omega t+\phi_0)$
a aceleração máxima será dada quando seno valer -1, considerando que o oscilador esteja no ponto onde seno vale -1, teremos:
$\displaystyle a(t)=A\omega^2=0,35m(4\pi s^{-1})^2=55,269784646100408265473149599306\\\\a(t)\approx55,3$
Pela lei de newton:
$\displaystyle \vec{F}(x)=m\frac{d^2x}{dt^2}\hat{r}=m\cdot\vec{a}$
$\displaystyle |\vec{F}|=0,5kg\cdot55,269784646100408265473149599306~m/s^2\\\\|\vec{F}|=27,634892323050204132736574799653\frac{kg\cdot m}{s^2}\\\\\boxed{|\vec{F}|\approx27,6N}$

Caso tenha interesse, leia o Curso de Física Básica 1 do H. Moysés Nussenzveig. Bons estudos
Caso tenha problema em visualizar a resposta, acesse pelo navegador da internet.

Answer 2

Resposta:

27,6 N

Explicação: