Question

um oscilador amortecido constituido de uma particula de massa m=5x10^-3 presaa uma mola é tal que a cooordenada x varia com o tempo de acordo com a equação x(t)=0,01e^-tcos2t em que todas as grandezas são expressas no sistema SI de medidas .determine a posição inicial . a velocidade inicil , cosntante de amortecimento b e constante elástica da mola ?

Answer 1

A posição inicial é 0,01 m.

A velocidade inicial é de -0,01m/s.

A constante de amortecimento é $b=10.10^{-3}kg/s$

A constante elástica é $k=25.10^{-3}$

A equação de um oscilador harmônico amortecido é dada por:

$x(t)=x_oe^{-bt/2m}cos(\omega' t+\phi)$

Em que $x_o$ é a amplitude inicial, m a massa, b a constante de amortecimento, $\omega'$ é a frequência angular do oscilador amortecido e $\phi$ é a fase inicial.

Analisando a equação, podemos concluir que a posição inicial é 0,01 m.

Para a velocidade inicial, precisamos encontrar a equação da velocidade. Para tal, derivamos a equação da posição.

$\frac{dx(t)}{dt}=d\frac{0,01e^{-t}cos2t}{dt}$

$v(t)=-0,01e^{-t}cos2t-0,01e^{-t}sen2t$

Para t=0:

$v(t)=-0,01m/s$

A velocidade inicial é de -0,01m/s.

Analisando a equação fornecida, temos que

$\frac{b}{2m}=1$

$\frac{b}{2.5.10^{-3}}=1$

$b=10.10^{-3}kg/s$

A constante de amortecimento é $b=10.10^{-3}kg/s$

Sabemos que

$\omega'=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4m^2}}$

$k=m\omega'^2+\frac{b^2}{4m}$

Substituindo os valores

$k=5.10^{-3}.2^2+\frac{(10.10^{-3})^2}{4.5.10^{-3}}$

$k=25.10^{-3}$

A constante elástica é $k=25.10^{-3}$