Question

Um observador vê o ponto mais alto de um prédio sob o ângulo de 30º. Se el se aproximasse 60 metros do prédio, veria o mesmo ponto sob um ângulo de 60º. Desconsiderando a altura do observador e usando $\sqrt{3}$ = 1,7 , determine a altura deste prédio.

Answer 1

Veja a imagem em anexo.

Vamos chamar a altura do prédio de h, e de x a distância do observador para o prédio, quando sua visão do ponto mais alto do prédito está sob um ângulo de 60º.

Portanto, temos que no ponto mais longe, sua distância do prédito é de (x+60), e no ponto mais próximo é de x.

Note que temos dois triângulos. O maior tem altura h e base (x+60). O menor tem altura h e base x.

Aplicando tangente sob o ângulo de 30º do triângulo maior temos que:
tg(30º) = h/(x+60)
1/$\sqrt{3}$ = h/(x+60)
h = (x+60)/$\sqrt{3}$

Aplicando tangente para o outro triângulo:
tg(60º) = h/x
$\sqrt{3}$ = h/x
h = $\sqrt{3}$x

Igualando as duas equações que obtivemos:
(x+60)/$\sqrt{3}$ = $\sqrt{3}$x
(x+60)=$\sqrt{3}$$\sqrt{3}$x
x+60=3x
2x=60
x=30

Agora que temos x, podemos obter h pela equação h=$\sqrt{3}$x
h=1,7*30
h=51m

A altura do prédio é de 51m.

Answer 2

A altura do prédio é, aproximadamente, 52 metros.

Esta questão está relacionada com relações trigonométricas. As relações trigonométricas de um ângulo pertencente a um triângulo retângulo são o seno, cosseno e tangente. Esses valores são calculados através da fração entre dois lados do triângulo, onde temos: cateto adjacente, cateto oposto e hipotenusa.

Vamos considerar a distância do homem no segundo ponto até o edifício como X. Dessa maneira, a medida do homem no primeiro ponto até o prédio é igual a 60+X. Considerando a altura do prédio como Y, temos as seguintes relações:

$tg(30\º)=\frac{y}{60+x}\rightarrow \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{y}{60+x} \\ \\ tg(60\º)=\frac{y}{x}\rightarrow \sqrt{3}=\frac{y}{x}$

Agora, vamos isolar X em ambas as equações e igualar seus valores. Desse modo, a única incógnita do problema será Y e seremos capazes de determinar seu valor. Portanto:

$0,57=\frac{y}{60+x}\rightarrow 34,6+0,57x=y\rightarrow x=\frac{y-34,6}{0,57} \\ \\ 1,73=\frac{y}{x}\rightarrow x=\frac{y}{1,73}\\ \\ \\ \frac{y-34,6}{0,57}=\frac{y}{1,73}\\ \\ 1,73y-60=0,57y\\ \\ 1,16y=60\\ \\ y\approx 52 \ metros$

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