Question

Um observador está situado a X metros do pé de um edifício. Ele consegue mirar o topo do prédio em um ângulo de 60°. afastando-se 40m desse ponto, ele passa a avistar o topo do edifício em um ângulo de 30°. Considerando desprezível a altura do observador, determine:

a) O valor de X:
b) a altura do edifício:

Answer 1

Vamos chamar ao topo do edifício de A, ao pé do edifício de B, ao ponto distante de x m do pé do edifício de C e ao ponto distante de 40 m de C, vamos chamar de D. Assim, temos 2 triângulos retângulos: ABC e ABD, e mais o triângulo ACD.
- No triângulo ACD, conhecemos a distância CD = 40 m; o ângulo CDA = 30º; o ângulo ACD = 120º, pois ele é externo ao ângulo BCA do triângulo ABC, que mede 60º. Assim, o ângulo CAD é igual a 30º, pois a soma dos ângulos internos do triângulo ACD deve ser igual a 180º. Então, o triângulo ACD é isósceles e CD = CA = 40 m.
- Considerando agora o triângulo ABC, o lado CA = 40 m, o lado BC = x m e o ângulo BCA = 60º. Como conhecemos um ângulo e a hipotenusa, podemos obter o valor do cateto adjacente ao ângulo de 60º, que é a distância x:
cos 60º = x ÷ 40
x = 0,5 × 40
x = 20 m

Como agora conhecemos e valor de x (20 m) e o valor de BD (BC + CD = 60 m), para obter a altura do prédio poderemos usar a relação que nos fornece a altura do prédio usando o triângulo ABC ou o triângulo ABD.
Usando o triângulo ABC, a tangente do ângulo de 60º é igual à razão entre o cateto oposto (altura do prédio - y) e o cateto adjacente (20 m).
tg 60º = y ÷ 20
1,73 = y ÷ 20
y = 1,73 × 20 = 34,60 m
Usando o triângulo ABD, a tangente do ângulo de 30º é igual à razão entre o cateto oposto (altura do prédio - y) e o cateto adjacente (60 m).
tg 30º = y ÷ 60
0,58 = y ÷ 60
y = 0,577 × 60 = 34,62 m

(A diferença de 0,02 m obtida nas duas soluções se deve ao valor da tangente que foi considerado com aproximação nos dois cálculos).