Question

Um objeto percorre uma elipse 4x^2 +25y^2 = 100 no sentido anti-horário e se encontra submetido à força F (x, y) = (−3y, 3x), com a força em Newtons e o deslocamento em metros. Ache o trabalho realizado em Joules.

Answer 1

W = $\int\limits^a_b \,F. ds$ = $\int\limits^a_b F(t) . r'(t)\, dt$

1 - Parametrizando a elipse
4x² + 25y² = 100 => dividindo por 100 temos  $\frac{ x^{2} }{25} + \frac{ y^{2} }{4} = 1$
$\left \{ {{y=a.cos \alpha } \atop {x=b.sen \alpha }} \right.$. Assim a parametrização da elipse será:
$\left \{ {{y=5.cos \alpha } \atop {x=2.sen \alpha }} \right.$.

O objeto percorre a elipse, então os limites de integração são: 0 a 2$\pi$.
Nas integrais abaixo não consegui inserir 2$\pi$. então onde tiver 2 entenda que é 2$\pi$.

2 - r'(t) = ?
r(t) = (5.cos$\alpha$, 2.sen $\alpha$)
r'(t) = (-5.sen$\alpha$, 2.cos$\alpha$)

3 - F(t) = ? 
F(x) = (-3y, 3x), logo F(t) = [-3 . (-2.sen$\alpha$), 3.5cos $\alpha$]
F(t) = (-6.sen$\alpha$, 15.cos$\alpha$)

4 -  $\int\limits^a_b F(t) . r'(t)\, dt$
     
$\int\limits^2_0 {(-6.sen\alpha, 15.cos\alpha) . (-5.sen\alpha, 2.cos\alpha)} \, dt$

$\int\limits^2_0 {30. sen^{2} \alpha + 30. cos^{2} \alpha } \, dt$

$\int\limits^2_0 {30( sen^{2}\alpha + cos^{2}\alpha } \, dt$
$\int\limits^2_0 {30} \, dt$ = 30 [$t$] t1 = 0 a t2 = 2pi
= 30 (2pi - 0) = 60pi