Question

um objeto é lançado e o gráfico a seguir mostra a altura atingida por esse objeto em função do tempo t, dada pela função y=at^2+bt+c. conforme o que foi estudado conclua o vértice e os coeficientes a,b,c.

Answer 1

Toda equação do segundo grau pode ser fatorada da seguinte forma:

$y=a(x-x_1)(x-x_2)$, substituindo o valor das raízes ficamos com:

$y=a(x-0)(x-6)=ax(x-6)$, agora utilizaremos o vértice (ponto mais alto do gráfico) que é $(3,9)$, ou seja, quando x é 3 então y é 9.

Substituindo x e y na equação fatorada:

$9=a\cdot3\cdot(3-6)\\9=a\cdot(-9)\\a=-1$

Sendo assim: $y=-x(x-6)=-x^2+6x$

Desse modo acabamos de encontrar $a=-1; b=6 \ e \ c =0$.

Esse problema também poderia ser resolvido através de um sistema, pois temos três pontos do gráfico $(0,0);(6,0)\ e \ (3,9)$. Substituindo os valores de x e y na equação dada do enunciado ($y=ax^2+bx+c$) temos:

$0=a\cdot0^2+b\cdot0+c \rightarrow c=0\\0=a\cdot6^2+b\cdot6+c \rightarrow 36a+6b=0\\9=a\cdot3^2+b\cdot3+c \rightarrow 9a+3b=9$

Multiplicando a última por 2:

$36a+6b=0\\18a+6b=18$

Subtraimos:

$18a=-18\\a=-1$

Substituindo "a=-1" na primeira equação:

$36(-1)+6b=0\\b=6$