Question

Um objeto de massa m é abandonado de uma altura S0 em relação ao solo.Após t segundos a sua altura S(t)pode ser calculado pela expressão a seguir: S(t)= S0-mg/k . t +m²g/k². (1-e - kt/m), em que k é o coeficiente de resistência do ar e g é a aceleração da gravidade. Fazendo m=2kg,S0=40m, k=0,6 kg/s e g=9,81m/s², use o método gráfico para isolar a raiz e,posteriormente, calcule o tempo que o objeto leva para atingir o solo utilizando o método de bisseção, com uma tolerância e ≤0,001.

Answer 1

Resposta:

Explicação:

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Answer 2

Primeiramente devemos separar as raízes, separando S(t) em S(t₁) e S(t₂).

$S(t)= S_{0} -\frac{mg}{k}t+\frac{m^{2}g }{k^{2} } (1-e^{\frac{-kt}{m} })$

onde:

• k é o coeficiente de resistência do ar (0,6kg/s)

• g é a aceleração da gravidade (9,81 m/s²)

• m é a massa (2Kg)

• S₀ é a posição inicial (40m)

• t é o tempo [s]

Para S(t₁):

$S(t)= S_{0} -\frac{mg}{k}t+\frac{m^{2}g }{k^{2} } (1-e^{\frac{-kt}{m} })\\ \\ S(t_{1} )= 40 -\frac{2.9,81}{0,6}t+\frac{2^{2}9,81 }{0,6^{2} } (1-e^{\frac{-0,6t}{2})$

$S(t_{1} )=40-32,7t+109-109e^{-0,3t}\\ \\ S(t_{1} )=-32,7t+149$

Para S(t₂):

$S(t)= S_{0} -\frac{mg}{k}t+\frac{m^{2}g }{k^{2} } (1-e^{\frac{-kt}{m} })\\ \\ S(t_{2} )= -\frac{2.9,81}{0,6}1+\frac{2^{2}9,81 }{0,6^{2} } (1-e^{\frac{-0,6t}{2})$

$S(t_{2} )=-32,7+149-109e^{-0,3t}\\ \\ S(t_{2} )=-109e^{-0,3t}$

Podemos observar que a equação possui duas raízes, sendo uma negativa que nesse problema, como tratamos de queda livre, ela não possui sentido. A construção do gráfico será semelhante ao gráfico abaixo. Colocando as devidas raízes.

Para descobrir o tempo, devemos utilizar o método de Newton-Raphson da seguinte maneira:

                                         $t_{i} =t_{i-1} -\frac{S(t_{i-1})}{S'(t_{i-1})}$

Portanto:

• $S'(t)=32,7.(e^{-0,3t}-1)$

• $S''(t)= -109.e^{-0,3t}$  

Para S(t) ser igual a zero, o t deve estar entre t 3 e 4q, em que os intervalos S(t₂) começam a ser maiores. Veja na Tabela anexada.

Veja mais sobre Newton-Raphson em: https://brainly.com.br/tarefa/15278062