UM OBJETO DE MASSA M É ABANDONADA DE UMA ALTURA So EM RELAÇÃO AO SOLO. APÓS T SEGUNDOS A SUA ALTURA S(t) PODE SER CALCULADA PELA EXPRESSÃO A SEGUIR:
S(t) = So - MG/K.T + M²G/K²(1-e -K²/m. EM QUE k É O COEFICIENTEDE RESISTÊNCIA DO AR E g É A ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE
FAZENDO m = 2 kg, So = 40m, k=0,6 kg/s E g = 9,81 m/S² USE O MÉTODO GRÁFICO PARA ISOLAR A RIZE, POSTERIORMENTE, CALCULAR O TEMPO QUE O OBJETO LEVA PARA ATINGIR O SOLO UTILIZANDO O MÉTODO DA BISSEÇÃO, COM UMA TOLERÂNCIA
Soluções para a tarefa
Explicação:
Primeiramente devemos separar as raízes, separando S(t) em S(t₁) e S(t₂).
S(t)= S_{0} -\frac{mg}{k}t+\frac{m^{2}g }{k^{2} } (1-e^{\frac{-kt}{m} })S(t)=S
0
−
k
mg
t+
k
2
m
2
g
(1−e
m
−kt
)
onde:
k é o coeficiente de resistência do ar (0,6kg/s)
g é a aceleração da gravidade (9,81 m/s²)
m é a massa (2Kg)
S₀ é a posição inicial (40m)
t é o tempo [s]
Para S(t₁):
\begin{gathered}S(t)= S_{0} -\frac{mg}{k}t+\frac{m^{2}g }{k^{2} } (1-e^{\frac{-kt}{m} })\\ \\ S(t_{1} )= 40 -\frac{2.9,81}{0,6}t+\frac{2^{2}9,81 }{0,6^{2} } (1-e^{\frac{-0,6t}{2})\\ \\\end{gathered}
\begin{gathered}S(t_{1} )=40-32,7t+109-109e^{-0,3t}\\ \\ S(t_{1} )=-32,7t+149\end{gathered}
S(t
1
)=40−32,7t+109−109e
−0,3t
S(t
1
)=−32,7t+149
Para S(t₂):
\begin{gathered}S(t)= S_{0} -\frac{mg}{k}t+\frac{m^{2}g }{k^{2} } (1-e^{\frac{-kt}{m} })\\ \\ S(t_{2} )= -\frac{2.9,81}{0,6}1+\frac{2^{2}9,81 }{0,6^{2} } (1-e^{\frac{-0,6t}{2})\\ \\\end{gathered}
\begin{gathered}S(t_{2} )=-32,7+149-109e^{-0,3t}\\ \\ S(t_{2} )=-109e^{-0,3t}\end{gathered}
S(t
2
)=−32,7+149−109e
−0,3t
S(t
2
)=−109e
−0,3t
Podemos observar que a equação possui duas raízes, sendo uma negativa que nesse problema, como tratamos de queda livre, ela não possui sentido. A construção do gráfico será semelhante ao gráfico abaixo. Colocando as devidas raízes.
Para descobrir o tempo, devemos utilizar o método de Newton-Raphson da seguinte maneira:
t_{i} =t_{i-1} -\frac{S(t_{i-1})}{S'(t_{i-1})}t
i
=t
i−1
−
S
′
(t
i−1
)
S(t
i−1
)
Portanto:
S'(t)=32,7.(e^{-0,3t}-1)S
′
(t)=32,7.(e
−0,3t
−1)
S''(t)= -109.e^{-0,3t}S
′′
(t)=−109.e
−0,3t
Para S(t) ser igual a zero, o t deve estar entre t 3 e 4q, em que os intervalos S(t₂) começam a ser maiores. Veja na Tabela anexada.