Matemática, perguntado por juliaccb, 1 ano atrás

Um numero real k é denominado de autovalor de uma matriz quadrada A, se este número for uma equação det (A - k . I) = 0, sendo I a matriz identidade de mesma ordem de A. Calcule os autovalores da matriz
  \left[\begin{array}{ccc}1&3\\2&2\\\end{array}\right]

Soluções para a tarefa

Respondido por ArthurPDC
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Vamos usar a definição que foi dada pelo enunciado. Queremos ter \det(A-kI)=0. Então, vamos primeiro escrever a matriz A-kI:

A-kI=\left[\begin{matrix}1&3\\2&2\end{matrix}\right]-k\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right]\\\\
A-kI=\left[\begin{matrix}1&3\\2&2\end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix}k&0\\0&k\end{matrix}\right]\\\\
A-kI=\left[\begin{matrix}1-k&3\\2&2-k\end{matrix}\right]

Agora, para que k seja um autovalor, o determinante da matriz acima deve ser nulo:

\det(A-kI)=0\\\\
\left|\begin{matrix}1-k&3\\2&2-k\end{matrix}\right|=0\\\\
(1-k)(2-k)-3\cdot2=0\\\\
2-k-2k+k^2-6=0\\\\
k^2-3k-4=0\\\\\\
\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-4)=9+16\Longrightarrow \Delta=25\\\\\\
k=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{25}}{2\cdot1}=\dfrac{3\pm5}{2}\\\\\\
k_1=\dfrac{3+5}{2}~~~~k_2=\dfrac{3-5}{2}\\\\
\boxed{k_1=4}~~~~~~~~~~\boxed{k_2=-1}

Logo, os autovalores da matriz são -1 e 4.
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