Question

Um número real é tal que a sua raiz quadrada menos sua raiz quarta dá 12. Qual é esse número?

Answer 1

Boa tarde

Consideremos que

$( \sqrt[4]{x} )^{2} = \sqrt[4]{ x^{2} } = \sqrt{x}$

Temos então

$y= \sqrt[4]{x} \Rightarrow y^{2} = \sqrt{x}$

substituindo as variáveis 

$\sqrt{x} - \sqrt[4]{x}=12\Rightarrow y^{2} -y=12\Rightarrow y^{2}-y-12=0$

Resolvendo a equação obtemos y' =4 e y'' = -3 ( que não serve).

Voltando à variável  x

$y=4 \Rightarrow \sqrt[4]{x} =4\Rightarrow x= 4^{4}\Rightarrow x=256$

Resposta : o número é 256.

Conferindo :

$\sqrt{256}=16 \quad \quad e \quad \quad \sqrt[4]{256}= \sqrt{ \sqrt{256} } = \sqrt{16}=4 \\ \\ \boxed{16-4=12}$

Obs. : O número -3 não serviu pois raiz de índice par , não pode ser

negativa.

Answer 2

Vamos lá: temos x^(1/2)-x^(1/4)=12. Aqui podemos separar o "x^(1/2)-x^(1/4)" em produto da soma pela diferença, assim,

[x^(1/4)+x^(1/8)]×[x^(1/4)-x^(1/8)]=12

Vamos considerar que x=a^8, assim, podemos tirar o "x" da raíz,

[(a^8)^(1/4)+(a^8)^(1/8)]×[(a^8)^(1/4)+(a^8)^(1/8)]=12

(a^2+a)×(a^2-a)=12

Produto da soma pela diferença,

a^4-a^2=12 --> a^4-a^2-12=0

Aqui, caímos em uma equação do 4° Grau, vamos por tentativa:

a=1, 1^4-1^2-12=0 --> 1-1-12=0 --> -12#0. Assim, 1 não é raíz. Comtinuamos...

a=2, 2^4-2^2-12=0 --> 16-4-12=0 --> 12-12=0 --> 0=0

Assim, 2 é raíz. Agora, lembre que x=a^8, assim, x=2^8=256.

Logo, o número que procuramos é 256. Para testar,

256^(1/2)-256^(1/4)=12 --> 16 - 4=12 --> 12=12.

Bons estudos!