Question

Um número P de três dígitos tem as seguintes características:
I. P é igual a 40 vezes a soma de seus dígitos.
II. Se a disposição do algarismo das unidades e do algarismo das centenas for invertida, o novo número é igual a P menos 99. III. O dígito das dezenas do número P é o dobro da soma dos outros dois dígitos. O produto dos dígitos de P é igual a:

a) 90 b) 32 c) 1 d) 6 e) Nenhuma das alternativa.

Answer 1

P = abc (a, b e c são algarismos).

P = 100a + 10b + c

I) 100a + 10b + c = 40 (a + b + c)

60a - 30b - 39c = 0

20a - 10b - 13c = 0


II) cba = abc - 99
abc - cba = 99
a - c = 1

III) b = 2(a + c)
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b = 2 (1 + c + c)
b= 2 + 4c

20a - 10b - 13c = 0
20(c + 1) - 10(2 + 4c) - 13c = 0

20c + 20 - 20 - 40c - 13c = 0
-33c = 0
c = 0

Com isso, temos:

a = 1 + 0 = 1
b = 2 + 4×0 = 2
c = 0

P = 120

Produto dos algarismos de P:

1×2×0 = 0

Alternativa E

Answer 2

$\boxed{\boxed{Ola\´\ Marcos\ Dangeos}}$

Vamos por etapas ok ?

A questão fala que o número P tem 3 digitos , e como não sabemos quais são , vamos chamar de ''X , Y e Z '' Ok ?

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I. $P=40*(X+Y+Z)$

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II.  Relembrando a ordem dos números :

Centenas , dezenas , unidade  = X , Y , Z

A questão nos fala que o algarismo das unidades e do algarismo das centenas foi invertido e gerou um novo número , logo temos que :

$ZYX = XYZ - 99$

$99 = XYZ - ZYX$

Note que a equação de cima nos dá um número positivo , por isso podemos afirmar que X > Z , Logo , Z = X - 1

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III. Y = 2 * (X + Z) , Veja que aqui já podemos resolver esta simples equação:

$Y= 2*(X+Z)\\ \\ \\ Y = 2X + 2Z\\ \\ \\ -2Z(-1)=2X-Y\\ \\ \\ 2Z=2X-Y\\ \\ \\ \boxed{{Z=\dfrac{2X-Y}{2} }}$

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Obs : Quando passei o Z negativo , multipliquei por (-1) pra ele não ficar negativo e ir terminar em Báskara , por isso fiz assim ...

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Agora , note que no módulo II , afirmamos que o Z=X-1 , já que o resultado (99) era um número natural positivo , neste caso iremos substituir na fórmula acima para acharmos o valor do Y .

$Z=\dfrac{2X-Y}{2}\\ \\ \\ X-1=\dfrac{2X-Y}{2}\\ \\ \\ 2*(X-1)=2X-Y\\ \\ \\ 2X-2=2X-Y\\ \\ \\ Note~que~podemos~simplificar~os~dois~''x''\\ \\ \\ \diagup\!\!\!\!2X-2=\diagup\!\!\!\!2X-Y\\ \\ \\ -2=-Y\\ \\ \\ \boxed{{Y=2}}$

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Achamos o valor do Y , agora vamos encontrar o valor do X usando a equação do módulo III onde Y=2 e Z = X-1 .

$Y=2*(X+Z)\\ \\ \\ 2=2*(X+(X-1))\\ \\ \\ 2\div1=X+(X+1)\\ \\ \\ 1=X+X-1\\ \\ \\ 1+1=2X\\ \\ \\ 2=2X\\ \\ \\ 2\div2=X\\ \\ \\ \boxed{{1=X}}$

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Agora relembrando ainda no módulo III que Z= X-1 , temos :

$Z=X-1\\ \\ \\ Z=1-1\\ \\ \\ \boxed{{Z=0}}$

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Prontinho , achamos os valores dos 3 digitos que são :

$\begin{bmatrix}X=1\\\\Y=2\\\\Z=0\end{bmatrix}$

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Agora vamos tirar a prova real , para saber se os números estão corretos :

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I. $P=40*(X+Y+Z)$

$P = 40*(1+2+0)\\ \\ \\ P=40*3\\ \\ \\ \boxed{{P=120}}~~~~CORRETO$

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-II. $ZYX = XYZ - 99$

$021=120-99\\ \\ \\ \boxed{{021=21}}~~~~CORRETO$

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III. $Y = 2 * (X + Z)$

$2=2*(1+0)\\ \\ \\ 2=2*1\\ \\ \\ \boxed{{2=2}}~~~~~CORRETO$

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Agora a questão quer saber o valor do produto dos 3 dígitos .

$X*Y*Z = \\ \\ \\ 1*2*0=\\ \\ \\ 2*0=\\ \\ \\ \boxed{{=0}}$

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Portanto o valor do produto dos 3 digitos de P , é igual a 0 (zero).

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$\boxed{{Gabarito=>\boxed{{E}}}}$

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Espero ter ajudado!