Question

Um número N deixa restos respectivamente iguais a 6 e 4 quando divididos por 8 e 7. Determine o resto da divisão de N por 56.

Answer 1

Seja  n  o número natural em questão.

     •  O número  n  deixa resto  6  na divisão por  8.  Pela divisão euclidiana, devemos ter

        n = 8q₁ + 6        (i)

     para algum  q₁ ∈ ℕ.


     •  O número  n  deixa resto  4  na divisão por  7.  De forma análoga, devemos ter

        n = 7q₂ + 4        (ii)

     para algum  q₂ ∈ ℕ.


Queremos saber o resto da divisão de  n  por  56.


Multiplique os dois lados da equação  (i)  por  7,  e os dois lados da equação  (ii)  por  8:

     7n = 7 · (8q₁ + 6)

     7n = 56q₁ + 42        (iii)


     8n = 8 · (7q₂ + 4)

     8n = 56q₂ + 32        (iv)


Subtraia as equação  (iv)  e  (iii)  membro a membro:

     8n − 7n = 56q₂ + 32 − (56q₁ + 42)

     8n − 7n = 56q₂ + 32 − 56q₁ − 42

     n = 56q₂ − 56q₁ + 32 − 42

     n = 56q₂ − 56q₁ − 10


Subtraia subtraia e some  56  ao lado direito:

     n = 56q₂ − 56q₁ − 10 − 56 + 56

     n = 56q₂ − 56q₁ − 56 + 56 − 10

     n = 56q₂ − 56q₁ − 56 + 46


Coloque  56  em evidência:

     n = 56 · (q₂ − q₁ − 1) + 46

     n = 56q + 46

com  q = q₂ − q₁ − 1.


Como  0 ≤ 46 < 56,  então o resto da divisão de  n  por  56  é  46.


Resposta:  46.


Bons estudos! :-)