Question

Um número maior que 2000 e menor que 3000 foi dividido por 12, 25 e 45. Nas 3 divisões o resto sempre foi 8, qual é o numero?

Answer 1

 

Deve-se determinar mmc

 

mmc(12, 25, 45) = 900

 

         12                    25                  45/2

           6                    25                  45/2

           3                    25                  45/3

           1                    25                  15/3

                                 25                    5/5

                                   5                    1/5

                                   1

 

                900 x 2 = 1800

                900 x 3 = 2700

                900 x 4 = 3600

Todo número multiplo do mmc será multiplo do número considerado.

Sendo o número maior de 2000 e menor de 3000, o multiplo será 2700.

Como sempre na divisão o resto é 8, o número será

 

2700 + 8 = 2708

 

 

Answer 2

Seja $l$ o número procurado.

 

Temos que:

 

$l\equiv8\pmod{12}$

 

$l\equiv8\pmod{25}$

 

$l\equiv8\pmod{45}$

 

Desses congruências, podemos escrever:

 

$l=12\text{a}+8$

 

$l=25\text{b}+8$

 

$l=45\text{c}+8$

 

Desta maneia, podemos escrever:

 

$l=12\text{a}+8=25\text{b}+8=45\text{c}+8$

 

Logo, $12\text{a}=25\text{b}=45\text{c}$

 

Note que, $\text{mmc}(12, 25, 45)=900$.

 

Desse modo, temos $l=900\text{d}+8$.

 

Como $2~000<l3~000$, segue:

 

$2~000<900\text{d}+8<3~000$

 

Donde, $2<\text{d}<4$, $\text{d}=3$

 

Logo, chegamos à conclusão de que, $l=900\cdot3+8=2~708$.