Question

Um número M de três dígitos tem as seguintes características: I. M é igual a 40 vezes a soma de seus dígitos. II. Se a disposição do algarismo das unidades e do algarismo das centenas for invertida, o novo número é igual a M menos 99. III. O dígito das dezenas do número M é o dobro da soma dos outros dois dígitos. O produto dos dígitos de M é igual a:

Answer 1

Olá.

Para resolver essa questão, principalmente para melhorar a interpretação, reescrevo as características/propriedades de maneira argumentativa e algébrica.

Característica 00: 
M é formado por três algarismos inteiros, que nomeio de a, b,c.
M = abc

Característica 01:

M é igual a 40 vezes a soma de seus algarismos inteiros.

M = 40 × (a + b + c)

 

Característica 02:

Se alterar o algarismo das centenas com o das unidades, o novo número é 99 menor que M.

abc – 99 = cba

 

Característica 03:

O dígito das dezenas do número M é o dobro da soma dos outros dois dígitos.

b = 2 (a + b)

 

Agora, vamos manipular essas características.

 

Característica 02: abc - 99 = cba

 

abc - 99 = cba

abc - cba = 99

 

Como a operação acima gera um resultado positivo, podemos afirmar que:

 

a > c | c = a – 1

 

Característica 03: b = 2 (a + c)

 

$\mathsf{b=2(a+c)}\\\\\mathsf{b=2a+2c}\\\\\mathsf{2c=2a-b}\\\\\mathsf{c=\dfrac{2a-b}{2}}$

 

Substituindo o valor de c pelo que encontramos na característica 1.

 

$\mathsf{c=\dfrac{2a-b}{2}}\\\\\\\mathsf{a-1=\dfrac{2a-b}{2}}\\\\\\\mathsf{2(a-1)=2a-b}\\\\\mathsf{2a-2=2a-b}\\\\\mathsf{\not\!\!2a-2=\not\!\!2a-b}\\\\\mathsf{-2=-b}\\\\\mathsf{-2=-b\times(-1)}\\\\\mathsf{2=b}$

 

Com essa mesma característica, podemos descobrir o valor de a em relação a b = 2, substituindo o valor de c. Segue o desenvolvimento.

 

$\mathsf{b=2(a+c)}\\\\\mathsf{2=2(a+(a-1))}\\\\\mathsf{2=2(2a-1)}\\\\\mathsf{2=4a-2}\\\\\mathsf{2+2=4a}\\\\\mathsf{4=a4}\\\\\mathsf{\dfrac{4}{4}=a}\\\\\mathsf{1=a}$

 

Se c = a -1, teremos:

 

c = a – 1

c = 1 – 1

c = 0

 

Com base no que foi mostrado acima, temos:

 

$\begin{cases}\mathsf{a=1}\\\mathsf{b=2}\\\mathsf{c=0}\\\end{cases}$

 

Para garantir se esses valores são válidos, vamos testar todas as características.

 

Característica 00: M = 120

 

Característica 01: M = 40 × (a + b + c)

 

$\mathsf{M=40\times(a+b+c)}\\\\\mathsf{120=40\times(1+2+0)}\\\\\mathsf{120=40\times(3)}\\\\\mathsf{120=120~\checkmark}$

 

Característica 02: abc – 99 = cba

 

$\mathsf{abc-99=cba}\\\\\mathsf{120-99=021}\\\\\mathsf{21=021~\checkmark}$

 

Característica 03: b = 2 (a + b)

 

$\mathsf{b=2(a+b)}\\\\\mathsf{2=2(1+0)}\\\\\mathsf{2=2(1)}\\\\\mathsf{2=2~\checkmark}$

 

Esses algarismos para a, b, c são válidos para todas as propriedades. Agora, vamos calcular o produto.

 

$\mathsf{a\times b\times c=}\\\\\mathsf{1\times2\times0=}\\\\\mathsf{2\times0=}\\\\\mathsf{0}$

 

O produto desses dígitos é igual a 0.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$

Answer 2

$\boxed{\boxed{Ola\´\ Adricd}}$

Vamos por etapas ! A questão fala que o número P tem 3 digitos , e como não sabemos quais são , vamos chamar de ''X , Y e Z '' Ok ?

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I. $P=40*(X+Y+Z)$

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II.  Relembrando a ordem dos números :

Centenas , dezenas , unidade  = X , Y , Z

A questão nos fala que o algarismo das unidades e do algarismo das centenas foi invertido e gerou um novo número , logo temos que :

$ZYX = XYZ - 99$

$99 = XYZ - ZYX$

Note que a equação de cima nos dá um número positivo , por isso podemos afirmar que X > Z , Logo , Z = X - 1

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III. Y = 2 * (X + Z) , Veja que aqui já podemos resolver esta simples equação:

$Y= 2*(X+Z)\\ \\ \\ Y = 2X + 2Z\\ \\ \\ -2Z(-1)=2X-Y\\ \\ \\ 2Z=2X-Y\\ \\ \\ \boxed{{Z=\dfrac{2X-Y}{2} }}$

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Obs : Quando passei o Z negativo , multipliquei por (-1) pra ele não ficar negativo e ir terminar em Báskara , por isso fiz assim ...

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Agora , note que no módulo II , afirmamos que o Z=X-1 , já que o resultado (99) era um número natural positivo , neste caso iremos substituir na fórmula acima para acharmos o valor do Y .

$Z=\dfrac{2X-Y}{2}\\ \\ \\ X-1=\dfrac{2X-Y}{2}\\ \\ \\ 2*(X-1)=2X-Y\\ \\ \\ 2X-2=2X-Y\\ \\ \\ Note~que~podemos~simplificar~os~dois~''x''\\ \\ \\ \diagup\!\!\!\!2X-2=\diagup\!\!\!\!2X-Y\\ \\ \\ -2=-Y\\ \\ \\ \boxed{{y=2}}$

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Achamos o valor do Y , agora vamos encontrar o valor do X usando a equação do módulo III onde Y=2 e Z = X-1 .

$Y=2*(X+Z)\\ \\ \\ 2=2*(X+(X-1))\\ \\ \\ 2\div1=X+(X+1)\\ \\ \\ 1=X+X-1\\ \\ \\ 1+1=2X\\ \\ \\ 2=2X\\ \\ \\ 2\div2=X\\ \\ \\ \boxed{{1=X}}$

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Agora relembrando ainda no módulo III que Z= X-1 , temos :

$Z=X-1\\ \\ \\ Z=1-1\\ \\ \\ \boxed{{Z=0}}$

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Prontinho , achamos os valores dos 3 digitos que são :

$\begin{bmatrix}X=1\\\\Y=2\\\\Z=0\end{bmatrix}$

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Agora vamos tirar a prova real , para saber se os números estão corretos :

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I.$P=40*(X+Y+Z)$

$P=40*(1+2+0)\\ \\ \\ P=40*3\\ \\ \\ \boxed{{P=120}}~~~~CORRETO$

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II. $ZYX = XYZ - 99$

$021=120-99\\ \\ \\ \boxed{{021=21}}~~~~CORRETO$

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III. $Y = 2 * (X + Z)$

$2=2*(1+0)\\ \\ \\ 2=2*1\\ \\ \\ \boxed{{2=2}}~~~~~CORRETO$

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Agora a questão quer saber o valor do produto dos 3 dígitos .

$X*Y*Z = \\ \\ \\ 1*2*0=\\ \\ \\ 2*0=\\ \\ \\ \boxed{{=0}}$

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Portanto o valor do produto dos 3 digitos de M , é igual a 0 (zero).

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Espero ter ajudado!