Question

Um número inteiro tem dois algarismos.Escrevendo a sua esquerda o dobro desse numero, obtem-se um multiplo de 67. Explique por que isso acontece. Ex:2412÷67=36

Answer 1

Seja $x$ um número inteiro positivo escrito como $"ab".$
sendo $a,\;b$ algarismos, isto é

$a,\;b\in A=\{0,\;1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6,\;7,\;8,\;9\}$

(na verdade o algarismo $a$ não pode ser zero, senão $x$ não teria dois algarismos...)


$a$ é o algarismo das dezenas e $b$ é o algarismo das unidades.


$\bullet\;\;$ O nosso sistema de numeração é decimal, $x$ pode ser escrito como

$x=10a+b~~~~\mathbf{(i)}$

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Como $x$ é formado por dois algarismos, temos que

$10\leq x\leq 99~~~~~~\mathbf{(ii)}$


Multiplicando todos os membros da desigualdade acima por $2,$ temos

$20\leq 2x\leq 198~~~~~~\mathbf{(iii)}$


Por $\mathbf{(iii)},$ concluímos que o dobro de $x$ pode ter dois ou três algarismos (no máximo).
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Suponhamos que $2x$ possa ser escrito como $"cde",$ sendo $c,\;d,\;e$ algarismos.

(Caso $2x$ tenha apenas dois algarismos, teremos $c=0$ )


Como o nosso sistema de numeração é decimal, temos que

$2x=100c+10d+e~~~~\mathbf{(iv)}$


Escrevendo $2x$ à esquerda do número $x,$ obtemos um novo número $y$ que pode ser escrito como $"cdeab".$


Como o nosso sistema de numeração é decimal, segue que

$y=10000c+1000d+100e+10a+b\\ \\ y=100\cdot (\underbrace{100c+10d+e})+(\underbrace{10a+b})\\ \\ \begin{array}{cc} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\|&~~~~~~~~~~~~~~~~\|\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2x&~~~~~~~~~~~~~~~~x \end{array}\\ \\ \\ y=100\cdot 2x+x\\ \\ y=200x+x\\ \\ y=201x\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}y=67\cdot 3x \end{array}}$


Como $3x$ é um número inteiro, da última igualdade acima, concluímos que $y$ é múltiplo de $\mathbf{67}.$