Question

Um número inteiro positivo
n
é dito alfafa se o produto dos seus divisores positivos é
n
2
. Por exemplo,
8
é alfafa, pois
1
⋅
2
⋅
4
⋅
8
=
8
2
. Determine a soma dos divisores do maior número alfafa menor ou igual a 120.

Answer 1

Olá!

Segundo a definição dado no enunciado, um número n é dito alfafa se o produto de todos os seus divisores positivos for igual n².

Se pegarmos o número 120 e o fatorarmos encontramos:

$120 = 2^{3}.3^{1}.5^{1}$

Ao somarmos 1 aos expoentes do resultado anterior e depois os multiplicarmos, obtemos que o número 120 possui 16 divisores naturais: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 e 120.

Ao multiplicarmos todos eles não obtemos o valor igual a 120². Portanto, o número 120 não é alfafa.

Logo, podemos pegar o próximo, o 119. Ao fatorarmos, encontramos:

$119 = 7^{1}.17^{1}$

Ao somarmos 1 aos expoentes do resultado anterior e depois os multiplicarmos, obtemos que o número 119 possui 4 divisores naturais: 1, 7, 17 e 119.

Ao multiplicarmos esses divisores, encontramos 14161 que é igual a 119². Portanto, 119 é um número alfafa.

Logo, a soma de seus divisores será: 1 + 7 + 17 + 119 = 144.

Espero ter ajudado!