Question

Um número inteiro positivo n é dito alfafa se o produto dos seus divisores positivos é n 2 . Por exemplo, 8 é alfafa, pois 1 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 8 = 8 2 . Determine a soma dos divisores do maior número alfafa menor ou igual a 140

Answer 1

Olá!

Segundo a definição dado no enunciado, um número n é dito alfafa se o produto de todos os seus divisores positivos for igual n².

Se pegarmos o número 140 e o fatorarmos encontramos:

$140 = 2^{2}.3^{1}.7^{1}$

Ao somarmos 1 aos expoentes do resultado anterior e depois os multiplicarmos, obtemos que o número 140 possui 12 divisores naturais: 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 e 140.

Ao multiplicarmos todos eles não obtemos o valor igual a 140². Portanto, o número 140 não é alfafa.

Logo, podemos pegar o próximo, o 139. Ao repetirmos o processo, vemos que ele também não é alfafa.

Ao repetirmos o processo com os números seguintes, chegamos ao 134:

$134 = 2^{1}.67^{1}$

Ao somarmos 1 aos expoentes do resultado anterior e depois os multiplicarmos, obtemos que o número 134 possui 4 divisores naturais: 1, 2, 67 e 134.

Ao multiplicarmos esses divisores, encontramos 17956 que é igual a 134². Portanto, 134 é um número alfafa.

Logo, a soma de seus divisores será: 1 + 2 + 67 + 134 = 204.

Espero ter ajudado!