Question

Um número inteiro positivo n é dito alfafa se o produto dos seus divisores positivos é n 2 . Por exemplo, 8 é alfafa, pois 1 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 8 = 8 2 . Determine a soma dos divisores do maior número alfafa menor ou igual a 110.

Answer 1

A resposta é 91, pois um número é alfafa quando é um produto de dois primos diferentes

Answer 2

Olá!

Segundo a definição dado no enunciado, um número n é dito alfafa se o produto de todos os seus divisores positivos for igual n².

Se pegarmos o número 110 e o fatorarmos encontramos:

$110 = 2^{1}.5^{1}.11^{1}$

Ao somarmos 1 aos expoentes do resultado anterior e depois os multiplicarmos, obtemos que o número 110 possui 8 divisores naturais: 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55 e 110.

Ao multiplicarmos todos eles não obtemos o valor igual a 110². Portanto, o número 110 não é alfafa.

Logo, podemos pegar o próximo, o 109. Ao fatorarmos verificamos que ele também não é um número alfafa. Pegamos o próximo, até chegarmos no 106. Ao fatorarmos, encontramos:

$106 = 2^{1}.53^{1}$

Ao somarmos 1 aos expoentes do resultado anterior e depois os multiplicarmos, obtemos que o número 106 possui 4 divisores naturais: 1, 2, 53 e 106.

Ao multiplicarmos esses divisores, encontramos 11236 que é igual a 106². Portanto, 106 é um número alfafa.

Logo, a soma de seus divisores será: 1 + 2 + 53 + 106 = 162.

Espero ter ajudado!