Question

Um número de quatro algarismos diferentes é tal que a soma dos quadrados dos algarismos das extremidades é igual a 130, enquanto que a soma dos quadrados dos algarismos do meio é igual a 100. Além disso, subtraindo-se do número dado o número formado invertendo a ordem de seus algarismos, obtém-se a diferença 1818.

Então, a soma dos algarismos deste número é igual a:

a.30
b.35
c.28
d.32
e.33​

Answer 1

Vamos começar coletando as informações do texto:

--> "Um número de quatro algarismos diferentes":

                        $Numero:~~\boxed{a\,b\,c\,d}$

--> "a soma dos quadrados dos algarismos das extremidades é igual a 130":

                          $\boxed{a^2+d^2~=~130}$

--> "a soma dos quadrados dos algarismos do meio é igual a 100":

                           $\boxed{b^2+c^2~=~100}$

--> "subtraindo-se do número dado o número formado invertendo a ordem de seus algarismos, obtém-se a diferença 1818":

                            $\left\begin{array}{ccc}\underline{~~}&a\,b\,c\,d&\\&\underline{~~ d\,c\,b\,a~~}&\\&1\,8\,1\,8&\end{array}\right.$

Lembrando que a, b, c, d estão entre 0 e 9.

Observando atentamente a subtração, podemos ver que a subtração d-a resultou em 8. Assim, temos duas possibilidades:

--> d=9 e a=1

--> d=x e a=x+2

Note que neste segundo caso, como a é 2 unidades maior que d, este irá "pegar emprestado" de c.

Vamos então testar as duas possibilidades:

$\underline{Para~d=9~e~a=1}:~~\\\\a^2+d^2~=~1^2+9^2~=~1+81~=~82~~\boxed{\times}\\\\\\\underline{Para~d=x~e~a=x+2}:\\\\a^2+d^2~=~(x+2)^2+x^2~=~\boxed{2x^2+4x+4}\\\\Igualando~ao~valor~dado~da~soma~dos~quadrados\\\\2x^2+4x+4~=~130\\\\Aplicando~Bhaskara,~chegamos~a~solucao~positiva~x=7~e~portanto~os\\~valores~ficam~\boxed{a=9~e~d=7}$

Perceba que, na conta armada, para que a subtração a-d resulte em 1, "a" deve, necessariamente, ter emprestado para "b". Sendo assim, podemos concluir que "b" é menor que "c". A a subtração b-c=8 (da conta armada) se resumirá, portanto, a (b+10)-c=8 ou c-b=2.

Podemos assim, testar todas possibilidades fixando um valor para "c" e "b" sendo 2 unidades menor ou, semelhante ao que foi feito anteriormente no calculo de "a" e "d", fixando c=x e b=x+2.

$\underline{Para~c=x~e~b=x+2}:\\\\b^2+c^2~=~(x+2)^2+x^2~=~\boxed{2x^2+4x+4}\\\\Igualando~ao~valor~dado~da~soma~dos~quadrados\\\\2x^2+4x+4~=~100\\\\Aplicando~Bhaskara,~chegamos~a~solucao~positiva~x=6~e~portanto~os\\~valores~ficam~\boxed{b=6~e~c=8}$

O numero procurado abcd é, portanto 9687.

Com todos algarismos devidamente calculados, podemos passar a soma dos algarismos:

$9687~~\rightarrow~~9+6+8+7~=~\boxed{30}$

Uma alternativa rápida, mas sem grande base de calculo, seria por "tentativa". Note que os únicos algarismos que, somando-se seus quadrados, resultam em 100 são 6 e 8. Da mesma forma,  os únicos algarismos que, somando-se seus quadrados, resultam em 130 são 7 e 9.

Logo, sem atentar para a ordenação dos algarismos no numero, poderíamos soma-los resultando nos mesmos 30.