Question

Um número de bolas idênticas que podem ser dispostas na forma de um triângulo equilátero se chama número triangular. A figura abaixo mostra os primeiros números triangulares.
Por exemplo, os primeiros cinco números triangulares são $a_{1} =1, a_{2}=3, a_{3}=6, a_{4}=10, a_{5}=15$. O vigésimo número triangular é:

Answer 1

Se a1=1 a2=3 a3=6 a4=10 a5=15 teremos: a1=1, mas a razão não é aritmética assim, a2-a1=a1 da segunda ordem. Logo a3-a2=a2 segunda ordem e a4-a3=a3 segunda ordem ficando: 3-1=2, 6-3=3, 10-6=4 e assim por diante. Sabendo disso, a PA de segunda ordem é: 2,3,4,5, com razão =1. Sabendo da formula da PA de segunda forma, calcularemos a20 da nossa pa de primeira ordem assim:

an=a1 (1°) + sn-1 (2°)

Temos que a primeira coisa que queremos é a Soma da pa de segunda ordem, pois não encontraremos an sem a soma das pa de segunda ordem. Assim:

Queremos achar o 20° triangulo pra saber quantas bolas há nessa triangulo, logo se Sn-1, o An será também An-1.

A19=2+(19-1)1

A19=2+18

A19=20

S19=(20+2).19/2

S19=380+38/2

S19=418/2

S19=209

Então sn-1=s19=209

Então:

an=a1 (1°) + sn-1 (2°)

an=1 + 209

an=210

Logo a resposta é 210.