Question

Um número complexo Z tem módulo 5 e argumento 2π/3. Calcule, em graus, a medida do argumento do complexo W, de modo que se tenha: Z × W= 1.​

Answer 1

Considerando que $w=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$, onde $\rho$ e $\theta$ são respectivamente o módulo e argumento de $w$, ficamos com a seguinte relação:

$z\times w=1$

$5(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})\times\rho(\cos\theta+i\sin\theta)=1$

$5\rho[\cos\left(\frac{2\pi}{3}+\theta\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{3}+\theta\right)]=1$

Podemos reescrever o número 1 na forma polar como $1=1(\cos0+i\sin0)$, logo:

$5\rho[\cos\left(\frac{2\pi}{3}+\theta\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{3}+\theta\right)]=1(\cos0+i\sin0)$

Basta agora igualarmos os argumentos de ambos os lados da igualdade:

$\frac{2\pi}{3}+\theta=0$

$\theta=-\frac{2\pi}{3}$

Para reescrever o ângulo na forma positiva, basta somá-lo por $2\pi$:

$\theta=-\frac{2\pi}{3}+2\pi$

$\theta=\frac{4\pi}{3}$

Para converter para graus, basta substituir $\pi$ por 180º, ficando assim com 4*180º/3 = 240º.