Question

Um  número a é
 igual a 2.2.2.3x  e ele possui 20
divisores naturais. Nestas condições, x é um número: 










____quadrado perfeito








____divisível  por 3








____primo 








____cubo perfeito
____ múltiplo de 5

Answer 1

Seja um número $q = a^{x}*b^{y}*c^{z}*d^{w}*...$

O número de divisores naturais desse número será dado por:

$n.d.p~(x)=(x+1)*(y+1)*(z+1)*(w+1)*...$
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$z=2*2*2*3^{x}\\z=2^{3}*3^{x}$

$n.d.p~(z)=(3+1)*(x+1)\\n.d.p~(z)=4*(x+1)$

Como o número de divisores naturais do número z é 20:

$4*(x+1)=20\\x+1=20/4\\x+1=5\\x=5-1\\x=4$
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a) Quadrado perfeito

O número z não é um quadrado perfeito. Um quadrado perfeito é aquele cuja raiz é exata. Se fossemos extrair a raiz de z, sobraria um 2 dentro da raiz devido o expoente ímpar de 2, veja:

$\sqrt{z}=\sqrt{2^{3}*3^{4}}\\\sqrt{z}=\sqrt{2^{2}*3^{4}*2}\\\sqrt{z}=2*3^{2}\sqrt{2}\\\sqrt{z}=2*9\sqrt{2}\\\sqrt{z}=18\sqrt{2}$

b) Divisível por 3

Sim, o número z é divisível por 3, já que esse (3) aparece na decomposição em fatores primos do número

c) Primo

Não, o número z não é primo. Ele seria primo, caso, em sua decomposição, aparecesse apenas um número (ele próprio), já que o 1 não aparece na decomposição.

d) Cubo perfeito

Também não é um cubo perfeito, pois o 3 tem expoente não divisível por 3:

$\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{2^{3}*3^{4}}\\\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{2^{3}*3^{3}*3}\\\sqrt[3]{z}=2*3\sqrt[3]{3}\\\sqrt[3]{z}=6\sqrt[3]{3}$

e) Múltiplo de 5

O número não é múltiplo de 5, pois não aparece 5 em sua decomposição