Um navegante, a fim de estimar a distância de seu navio até a costa, procedeu da seguinte maneira. Ele sabia que a costa ficava paralela à direção norte-sul, então de um ponto A ele mediu o ângulo visual α=33∘ formado entre a direção de um farol F situado na costa e a direção norte e então navegou na direção norte por uma distância d=1650 m até um ponto B, no qual o ângulo visual media 2α, como na figura abaixo: Usando trigonometria ele então pode descobrir a que distância seu navio estava da costa. Que distância (em metros) era essa? (Use as aproximações sen(33∘)≈0.545 e cos(33∘)≈0.839. Use pelo menos duas casas decimais de precisão na sua resposta e separe os decimais com ponto ao invés de vírgula)
Resposta
Soluções para a tarefa
Resposta:
1507,35
Explicação passo-a-passo:
sen 66 x 1650m
A distância que o navio estava da costa era de aproximadamente 2.770m.
Lei dos Senos
Para resolvermos a questão, primeiramente, devemos encontrar os ângulos do triângulo formado pelo navio e as distâncias dele em relação a costa.
Como α=33º, temos que o próximo ângulo é:
180-2xα = 180 - 2x33 = 180 - 66 = 114º
Portanto, o terceiro ângulo é:
180 - 33 - 114 = 33º
Ou seja, temos um triângulo isósceles (AB = BF).
Para descobrirmos o valor de AF, podemos utilizar a lei dos senos. Mas, para isso, devemos encontrar o valor do seno de 114º.
Como sen x = sen (180º - x), temos que sen66º = sen114º.
Além disso, temos que sen(2x) = 2x(senx)x(cosx), portanto:
sen66º = 2x(sen33º)x(cos33º)
sen66º = 2x0,545x0,839
sen66º = 0,915
Assim, pela lei dos senos temos;
(sen33º)÷(1650) = (sen66º)÷(AF)
0,545÷(1650) = 0,915÷(AF)
0,545xAF = 1650x0,915
AF = (1650x0,915)÷0,545
AF = 2770,18 metros
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