Question

Um móvel percorre uma pista de corrida de formato parabólico, representada na imagem abaixo. Ele parte do ponto A, passa pelo vértice V e chega no ponto B.

Considerando:
Distância: AB = PB = 600 metros
VW = 900 metros
Medida do ângulo VWB = 90º

Calcule a distância percorrida pelo móvel.

Answer 1

1) Ecuación de la parábola: $f(x) = 900-\dfrac{x^2}{100}$

2) Distancia recorrida entre AB por el móvil

$\displaystyle \mathcal {L}=\int\limits_{x_1}^{300}\sqrt{1+\left(\dfrac{df}{dx}\right)^2}~dx\\ \\ \\ \mathcal {L}=\int\limits_{x_1}^{300}\sqrt{1+\left(\dfrac{x}{50}\right)^2}~dx\\ \\ \\ \mathcal {L}=50\int\limits_{x_1/50}^{6}\sqrt{1+z^2}~dz$


$\mathcal {L}=25\left.\left[\ln|r+\sqrt{1+r^2}|+r\sqrt{1+r^2}\right]\right|_{x_1/50}^{6}\\ \\ \\ \mathcal {L}=25\left[\ln\left(6+\sqrt{37}\right)+6\sqrt{37}-\ln\left|\dfrac{x_1}{50}+\dfrac{\sqrt{2500+x_1^2}}{50}\right|-\dfrac{\sqrt{2500+x_1^2}}{2500}\right]\\ \\ \\ \texttt{Onde }: 600=\sqrt{(x_1-300)^2+\left(900-\dfrac{x_1^2}{100}\right)^2}\\ \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\mathcal{L}\approx 1739.677885\text{ m}}}$