Question

um movel obedece a funçao horaria s=-10-8.t+2.t2
o instante em que passa pela origem dos espaços

Answer 1

O instante em que o móvel passa pela origem dos espaços significa o instante em que o móvel passa pela posição S zero (0). A resolução é igual à fórmula de uma equação de 2°grau, sendo t a variável de tempo.
-10 - 8t + 2t² = 0
2t² - 8t - 10 = 0

podemos simplificar toda a equação por 2, dessa maneira é possível obter a variável por método de soma e produto.
t² - 4t -5 = 0
soma = -b/a = -(-4)/1 = 4
produto c/a = -5/1 = -5.

as raízes cujo produto é -5 e cuja soma é 4 são 5 e -1.

É característica da equação de 2° grau ter duas raízes, mas deve-se ver o contexto. E nesse caso, não existe tempo negativo, a raíz -1 não convém.

O móvel passa pela origem da trajetória no instante 5 (SI - s)

Answer 2

O instante em que ele passa pela origem é quando o S=0
S=0
S=-10-8t+2t²
0=-10-8t+2t²
Isso vira equação de segundo grau
2t²-8t-10=0
Resolvendo isso vai dar dois possíveis resultados t=5s e t=-1
Descarta tempos negativos
e considere o tempo em que passa pela origem sendo 5s