Question

Um móvel desloca-se sobre um um eixo de modo que sua abscissa s no instante t é dada por:


$s = a. \cos(k.t + l)$


Sendo a, k e l constantes dadas, qual os:

a) instantes e posições em que é máxima a velocidade do móvel;

b) instantes e posições em que é mínima a aceleracão do móvel.​

Answer 1

Explicação:

Primeiramente, repare que o enunciado do exercício apenas informa que $a,\,k,\, l$ são constantes (reais) dadas $(a,\,k,\,l\ \in\ \mathbb{R})$. Objetivando descobrir quais são todos os possíveis valores reais que cada uma das três constantes $a,\,k,\, l$ pode assumir, obtém-se, após uma minuciosa análise da função fornecida pelo enunciado, que $a$ e $k$ são reais não nulos $(a,\, k\ \in\ \mathbb{R^{*}})$ e $l$ um real arbitrário $(l\ \in\ \mathbb{R})$. Pelo fato de não existir informação a respeito dos sinais de $a$ e $k$, origina-se quatro possibilidades de sinais para eles, que são dadas por:

$\left(a,\, k\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\right)\ \lor\ \left(a\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\ \land\ k\ \in\ \mathbb{R_{-}^{*}}\right)\ \lor\ \left(a\ \in\ \mathbb{R_{-}^{*}}\ \land\ k\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\right)\ \lor\ \left(a,\,k\ \in\ \mathbb{R_{-}^{*}}\right)$

Nesta resolução, admitiremos que $a$ e $k$ são reais positivos (analogamente, pode-se admitir qualquer uma das outras três possibilidades), ou seja, $a,\, k\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}$. Agora, considere $f:\mathbb{R}\longrightarrow[-1,1]$ a função que associa cada real $x$ de seu domínio $D(f)=\mathbb{R}$ ao valor $\sin(x)$ do respectivo contradomínio $CD(f)=[-1,1] \left(x\longmapsto\sin(x)\right)$, cuja lei de formação é $f(x)=\sin(x)$. Analogamente, temos uma outra função $g:\mathbb{R}\longrightarrow[-1,1]$, que associa cada valor $x$ de seu domínio $D(g)=\mathbb{R}$ ao valor $\cos(x)$ do respectivo contradomínio $CD(g)=[-1,1] \left(x\longmapsto\cos(x)\right)$, cuja lei de formação é dada por $g(x)=\cos(x)$. É claramente perceptível que, para qualquer valor real de $x$, as funções $f(x)=\sin(x)$ e $g(x)=\cos(x)$ sempre assumem valores que vão de $-1$ a $1$ $\left(-1\leq \sin(x)\leq 1,\ \forall\ x\ \in\ \mathbb{R}\ \land\ -1\leq \cos(x)\leq 1,\ \forall\ x\ \in\ \mathbb{R}\right)$. Retornando ao exercício, sabe-se que a função fornecida pelo enunciado é $s(t)=a\ \cdot\ \cos(kt+l)$. Também é sabido que a função derivada primeira de $s(t)$ (espaço/deslocamento em função do tempo) é a função velocidade $v(t)=s'(t)$, e a função aceleração $a(t)$ será $a(t)=v'(t)$ (derivada primeira da velocidade). Assim sendo, vamos à resolução do item a):

$s(t)=a \cdot \cos(kt+l)\ \ \ \Longrightarrow$

$s'(t)=a \cdot \left(-\sin(kt+l)) \cdot (kt+l)'\ \ \ \land\ \ \ s'(t)=v(t)\ \ \ \Longrightarrow$

$v(t)=-ak\ \cdot\ \sin(kt+l)$

Sabe-se que $a$ é um real positivo e $k$ também é real positivo, o que acarreta $-ak$ real e negativo $\left(a,\, k\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\ \Longrightarrow\ -ak\ \in\ \mathbb{R_{-}^{*}}\right)$. Logo, para que $v(t)$ seja máxima, deve-se ter:

$\sin(kt+l)=-1\ \ \ \Longrightarrow$

$\sin(kt+l)=\sin\left(\cfrac{3\pi}{2}}\right)\ \ \ \Longrightarrow$

$t=\cfrac{1}{k}\left(\cfrac{3\pi}{2}+2n\pi-l\right),\ n\ \in\ \mathbb{Z}\ \ \ \lor\ \ \ t=\cfrac{1}{k}\left(-\cfrac{\pi}{2}+2n\pi-l\right),\ n\ \in\ \mathbb{Z}$

Perceba que as duas expressões trigonométricas acima são equivalentes, com isso basta escolher qualquer uma delas para ser a expressão fornecedora dos instantes que maximizam a função velocidade $v(t)$. Portanto, o instante que maximiza a velocidade $v(t)$ é:

$t=\cfrac{1}{k}\left(\cfrac{3\pi}{2}+2n\pi-l\right),\ n\ \in\ \mathbb{Z}$

Vimos que a velocidade $v(t)$ será máxima quando $\sin(kt+l)=-1$, o que acarreta $\sin^{2}(kt+l)=1$. Já as correspondentes posições associadas à velocidade $v(t)$ máxima serão dadas quando:

$\sin^{2}(kt+l)+ \cos^{2}(kt+l)=1\ \ \ \land\ \ \ \sin^{2}(kt+l)=1\ \ \ \Longrightarrow$

$\cos^{2}(kt+l)=0\ \ \ \Longrightarrow$

$\cos(kt+l)=0$

Quando a velocidade $v(t)$ é máxima, obteremos $\cos(kt+l)=0$, mas a função $s(t)$ é dada por $s(t)=a \cdot \cos(kt+l)$, o que acarreta $s(t)=0$. Por fim, a posição associada à maximização da função velocidade $v(t)$ é dada por:

$s(t)=0,\ \forall\ t=\cfrac{1}{k}\left(\cfrac{3\pi}{2}+2n\pi-l\right);\ n\ \in\ \mathbb{Z}$

Para resolver o item b) procede-se de modo análogo ao descrito acima. Logo após todos os respectivos cálculos, temos que o instante que minimiza a aceleração $a(t)=v'(t)$ do móvel é dado por:

$t=\cfrac{1}{k}\left(2n\pi-l\right),\ n\ \in\ \mathbb{Z}$

E a posição em que a aceleração $a(t)$ é mínima, é:

$s(t)=a,\ \forall\ t=\cfrac{1}{k}\left(2n\pi-l\right);\ n\ \in\ \mathbb{Z}$

Um grande abraço!