Question

Um motorista de caminhão precisa fazer entregas em duas cidades Alfa e Beta, distantes 10√13 km (aproximadamente 36 km) entre si. Do ponto P em que se encontra, na bifurcação de uma estrada, ele sabe que a distância a Beta é o triplo da distância a Alfa.


Sabendo que m (APB) = 120° e que a velocidade máxima permitida no trecho de P a Beta é de 50 km/h, determine o tempo mínimo que será gasto para chegar a Beta.

Answer 1

Olá!

Primeiro fazemos o dibujo com as descripções (imagem anexo). Assim vamos a ter sa medidas de:

1- A distancia de Alfa a Beta = 10√13,

2- A velocidade de Alfa a P = 50 km

3- O ângulo entre os pontos = 120°

4- A distância entre Beta e P que vai ser o triplo da distância a Alfa = 3x

5- A distância de Alfa a P = x

Assim sabendo isso podemos aplicar a Lei del coseno:

$z^{2} = x^{2} + y^{2} - 2xy * cos \theta$

Onde:

$z^{2} = 10 \sqrt{13}$

Substituindo na equação temos:

$(10 \sqrt{13} )^{2} = (x)^{2} + (3x)^{2} - 2*(x)*(3x) * cos 120\\ (10 \sqrt{13} )^{2} = (x)^{2} + (3x)^{2} - 2*(x)*(3x) * - \frac{1}{2} \\ 100 * 13 = x^{2} + 9x^{2} - 6x^{2} * - \frac{1}{2} \\ 1.300 = 10 x^{2} - ( - \frac{6x^{2}}{2})\\ 1.300 = 10 x^{2} + 3x^{2}\\ 1.300 = 13x^{2}$

Agora isolamos x

$x^{2} = \frac{1.300}{13} \\ x^{2} = 100\\ x = \sqrt{100} \\ x = 10 km$

Assim sabemos que a distância de P a Beta temos:

$PB = 3x\\ PB = 3* 10 = 30 km$

Agora sabemos que a velocidade é dada pela distancia entre o tempo:

$V = \frac{d}{t}$

Substituimos os valores e isolamos o tempo:

$50 km / h = \frac{30 km}{t}$

$t = \frac{30 km}{50 km / h} = 0,6\; h$

$t = 0,6\; h * \frac{60\; min}{1\; hora} \\ t = 36\; minutos$