Question

Um motoqueiro circula HORIZONTALMENTE em um "globo da morte". Sabendo que a massa do conjunto - motoqueiro e moto - é M, o módulo da aceleração da
gravidade seja g, o coeficiente de atrito cinético vale µc, o coeficiente de atrito estático vale µe e o globo seja uma casca esférica perfeita de raio R, quais devem ser as velocidades mínima e máxima para que o motoqueiro consiga fazer
a trajetória?

Answer 1

Observe o diagrama de forças que anexei.

Por conveniência, usarei coordenadas cilíndricas. Defini a direção vertical como sendo z e defini uma direção radial r que aponta para fora do centro do globo.

As forças que agem no motoqueiro são a força peso, a força de atrito e a normal causada pelo contato entre a moto e o globo.

O motoqueiro está pilotando no equador do globo. Ele possui uma velocidade tangencial cuja direção é perpendicular a tela (não mostrada na imagem).

Nós não queremos que o motoqueiro caia e sim que ele permaneça orbitando o equador do globo.

Para isso, a força de atrito deve er o suficiente para balancear a força peso da moto.

Caso a força de atrito fosse menor que a força peso, o motoqueiro iria deslizar e cairia.

Esse atrito é o atrito estático, já que não deve haver movimento na direção z.

Vamos escrever a equação do movimento (2a lei de Newton) para a moto.

Na direção z queremos que a aceleração seja zero:

$\displaystyle{\vec{F}_z=m\vec{a}_z=\vec{F}_{at}+\vec{P}=0}$

Na direção radial r temos a força normal, e essa força normal é a força centrípeta necessária para haver a órbita:

$\displaystyle{\vec{F}_r=m\vec{a}_r=\vec{N}=\vec{F}_{c}=-\frac{mv^2}{R}\hat{r}}$

Perceba que a força centrípeta depende da velocidade da moto, e ela tem sinal negativo pois aponta para o centro do globo (convencionamos que a direção positiva aponta para fora).

A força de atrito tem valor igual ao módulo da força normal multiplicado pelo coeficiente de atrito.

Com isso:

$\displaystyle{{F}_{at}=\mu_{e}\frac{mv^2}{R}}$

Por causa disso, as forças na direção z serão:

$\displaystyle{\vec{F}_{at}+\vec{P}=0}$

$\displaystyle{\vec{F}_z=\left[\mu_e \frac{mv^2}{R}-mg\right]\hat{z}=0}$

$\displaystyle{\mu_e \frac{mv^2}{R}=mg}$

$\displaystyle{v^2=\frac{Rg}{\mu_e}}$

$\displaystyle{v=\sqrt{\frac{Rg}{\mu_e}}}$

Essa deve ser a velocidade mínima para que o motoqueiro consiga circular sem problemas o globo.

Não há necessariamente um limite para a velocidade máxima.

Se a velocidade aumentar, a força normal também aumentará. Com isso, a força de atrito estático ficará maior. A força peso por si só não não será suficiente para fazer a moto deslizar e cair.