Question

Um monumento de 100 metros de extensão terá de ser fixado com a ajuda de um guindaste e dois cabos de aço com mesmo comprimento: um une a extremidade inferior do monumento à extremidade inferior do guindaste e o outro une a extremidade superior do monumento à extremidade inferior do guindaste, passando por sua extremidade superior, como indicam as figuras.



A posição do guindaste, em relação ao solo, é variável; por razões de segurança, a parte do cabo de aço que une uma das extremidades do monumento à extremidade superior do guindaste deve ser igual à parte desse cabo que une à extremidade superior do guindaste à sua parte inferior.

Assim, sendo x a medida (em metros) de cada uma dessas duas partes do cabo de aço, a extensão do monumento pode ser representada por abre parênteses raiz quadrada de 5 espaço menos espaço 1 fecha parênteses espaço x.

a) Obtenha a metragem (aproximada) de cabo de aço necessária para fixar o monumento, escrevendo o valor de x como uma fração cujo denominador seja raiz quadrada de 5 espaço menos espaço 1 e, em seguida, calculando o valor a partir da aproximação raiz quadrada de 5 espaço quase igual espaço 2 vírgula 2.

b) Efetue a multiplicação abre parênteses raiz quadrada de 5 menos 1 fecha parênteses abre parênteses raiz quadrada de 5 mais 1 fecha parênteses e conclua, usando a mesma aproximação raiz quadrada de 5 espaço quase igual espaço 2 vírgula 2, se é possível obter uma metragem de cabo de aço diferente da obtida no item anterior.

Answer 1

Para resolver esse exercício, devemos primeiramente interpretar as sentenças do enunciado. É dito que a fixação do monumento, de 100 metros, será realizada por dois cabos de aço de mesmo comprimento, o "verde" e o "laranja". Além disso, "a parte do cabo de aço que une uma das extremidades do monumento à extremidade superior do guindaste deve ser igual à parte desse cabo que une a extremidade superior do guindaste à sua parte inferior".

Ou seja, a parte do cabo verde que liga o monumento à extremidade superior do guindaste deve ser igual ao resto desse mesmo cabo. Dessa forma, o cabo de aço verde estará dividido em duas partes iguais, de medida (em metros) x. Assim, percebemos também que cada cabo tem comprimento total de 2x.

Com essas informações, podemos esquematizar a situação. Como demonstrado na imagem anexa, forma-se um triângulo retângulo de medidas em metros x+100, x e 2x.

ITEM A

• Determinação do valor de x

Já que trata-se de um triângulo retângulo, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras:

$(x+100)^2=x^2+(2x)^2\\\\\\x^2+200x+10000=x^2+4x^2\\\\\\4x^2-200x-10000=0\\\\\\x^2-50x-2500=0$

Agora, para calcular o valor de x, utilizaremos a Fórmula de Bhaskara:

$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}\\\\\\x=\dfrac{-(-50) \pm \sqrt{(-50)^2-4 \cdot 1 \cdot (-2500)}}{2 \cdot 1}\\\\\\x=\dfrac{50 \pm \sqrt{2500+10000}}{2}\\\\\\x=\dfrac{50 \pm 50\sqrt{5}}{2}\\\\\\x=25(1\pm\sqrt5)~m$

A partir disso, obtemos dois valores: x=25(1+√5) ou x=25(1-√5). No entanto, esse último é negativo (pois √5>1), o que o torna inviável. Sendo assim, x=25(√5+1).

• Escrita de x como uma fração de denominador √5-1

Para isso, multiplicaremos √5-1 no numerador e no denominador de x (considerando que qualquer número é também uma fração de denominador 1):

$x=25(\sqrt5+1)=\dfrac{25(\sqrt5+1)}{1} \cdot \dfrac{\sqrt5-1}{\sqrt5-1}\\\\\\x=\dfrac{25 (\sqrt5+1)(\sqrt5-1)}{\sqrt5-1}=\dfrac{25 \cdot 4}{\sqrt5-1}\\\\\\x=\dfrac{100}{\sqrt5-1}~m$

• Cálculo do valor de x pela aproximação √5≅2,2

$x=\dfrac{100}{\sqrt5-1}\approx\dfrac{100}{2,2-1}=\dfrac{100}{1,2}=83,\overline{3}~m$

⇛Logo, como os cabos têm medida 2x, a metragem de cada cabo é 166,6 e a metragem total é 333,3, aproximadamente.

ITEM B

• Cálculo de (√5+1).(√5-1) pela aproximação √5≅2,2

$(\sqrt5+1)(\sqrt5-1)\approx(2,2+1)(2,2-1)=3,2 \cdot 1,2=3,84$

Com essa aproximação, (√5+1).(√5-1)=3,84. Se utilizássemos esse resultado no cálculo de x, teríamos:

$x=\dfrac{25(\sqrt5+1)(\sqrt5-1)}{\sqrt5-1}=\dfrac{25 \cdot 3,84}{\sqrt5-1}=\dfrac{96}{\sqrt5-1}~m$

⇛Esse valor difere do encontrado sem aproximação no produto notável (100/√5-1). Portanto, é possível obter uma metragem de cabo de aço diferente.

Veja mais em:

↪Teorema de Pitágoras

https://brainly.com.br/tarefa/20718757

↪Fórmula de Bhaskara

https://brainly.com.br/tarefa/13744131