Question

Um monge tibetano deixa o monastério às 7:00 horas da manhã e segue sua caminhada usual para o topo da montanha chegando lá às 7:00 horas da noite. Ele medita no topo da montanha durante a noite. Na manhã seguinte, ele parte do topo da montanha às 7:00 horas da manhã, pega o mesmo caminho de volta e chega ao monastério às 7:00 horas da noite. Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe um ponto no caminho que o monge vai cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas as caminhadas.

Answer 1

Olá, vamos a lembrar que o teorema do valor intermediário (TVI) é um teorema em funções contínuas reais definidas em um intervalo. Intuitivamente, o resultado indica que, se uma função é contínua em um intervalo, então leva todos os intermediários entre os extremos do intervalo.

Então neste caso temos que:

Uma a distância é percorrida, que chamaremos D,logo temos que associar para cada ponto do caminho percorrido do monastério à montanha um número real d que é a distância desse ponto ao monastério, a qual vai ser medida pelo caminho que recorre o monge.

Agora vamos a definir a função f definida em $A= [7;19]$ a os valores em $B=[0;D]$ 

Assim na função cada t (tempo) em  A associa a posição P de B do monge no caminho até a montanha.

Agora seja g definida em A os valores em B, então a função a cada t de A associa a posição P do monge (de B) no caminho de volta ao monastério.

Então agoora vamos a supor que f e g são contínuas e portanto H também vai ser.

Assim pode-se desmostrar que:


$H(7) = f(7) - g(7)= 0 - D$

$H(7) = f(7) - g(7)= - D$

Agora para 

$H(19)=f(19) - g(19)= D - 0$

$H(19)=f(19) - g(19)= D$


Assim como $H(7)= -D$ contínua

$H(19)=D$ contínua

H é contínua

O que significa que pelo   Teorema do Valor Intermediário existe ao menos um To em A tal que$H(T_o)=0$ assim que $f(T_o)=g(T_o)$


Podese demostrar que existe ao menos uma posição em B que vai ser cruzada pelo monge à mesma hora (To) na ida e na volta.