Question

Um modelo matemático descreve que a quantidade de pessoas infectadas (P) por uma doença ao longo do tempo (t, em meses) é dada por:

P(t) = -3t2 + 15t + m

Determine:

A) o valor de m para que a quantidade inicial de infectados seja de 150.


B) o momento em que a quantidade de infectados é igual a zero.

Answer 1

Olá, boa noite.

Um modelo matemático descreve que a quantidade $P$ de pessoas infectadas por uma doença ao longo do tempo $t$, em meses, por meio da função: $P(t)=-3t^2+15t+m$.

Devemos determinar:

a) O valor de $m$ para que a quantidade inicial de infectados seja igual a $150$

A quantidade inicial se refere ao número de infectados ao início da observação, ou seja, no instante $t=0$. Assim, teremos:

$P(0)=150\\\\\\ 150=-3\cdot0^2+15\cdot0+m$

Calcule a potência e multiplique os valores

$m=150~~\checkmark$

b) O momento em que a quantidade de infectados é igual a zero

Buscamos o instante $t$ para o qual $P(t)=0$. Substituindo o resultado encontrado anteriormente e igualando a função a zero, temos:

$-3t^2+15t+150=0$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $(-3)$

$t^2-5t-50=0$

Para resolver esta equação quadrática de coeficientes reais $ax^2+bx+c=0,~a\neq0$, utilizamos a fórmula resolutiva: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Substituindo os coeficientes $a=1,~b=-5$ e $c=-50$, temos:

$t=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot(-50)}}{2\cdot1}$

Calcule a potência, multiplique e some os valores

$t=\dfrac{5\pm\sqrt{25+200}}{2}\\\\\\ t=\dfrac{5\pm\sqrt{225}}{2}$

Calcule o radical, sabendo que $225=15^2$

$t=\dfrac{5\pm15}{2}$

Separe as soluções, some os valores e simplifique as frações

$t=\dfrac{5-15}{2}~~\bold{ou}~~t=\dfrac{5+15}{2}\\\\\\\Rightarrow t=-5~~\bold{ou}~~t=10$

Assumindo a solução positiva, conclui-se que o número de infectados será igual a zero no instante $t=10~~\checkmark$.