Question

Um modelo exponencial para o número de bactérias em uma cultura no instante t é dado

por P(t) = P0 · e

kt, onde P0 é a população inicial e k > 0 é a constante de crescimento.

(a) Após 2 horas, se observa que o número inicial de bactérias em uma cultura havia se duplicado.

Encontre um modelo de crescimento exponencial P(t).


(b) Segundo o modelo
encontrado no item (a), qual o número de bactérias presentes na cultura após

5 horas?


(c) Encontre o tempo necessário para a cultura crescer 20 vezes o tamanho inicial.

Answer 1

Olá,

A) Sendo P0 a quantidade inicial de bactérias teremos:

$P(t)=P0.e^{kt}\\ \\ 2.P0=P0.e^{2k}\\ \\ 2=e^{2k}\\ \\ 2k=ln2\\ \\ k=\frac{ln2}{2}$

Logo o modelo é:

$P(t)=P0.e^{\frac{ln2}{2}t}$

B) Seguindo o modelo encontrado, basta substituir os valores, vejamos:

$P(t)=P0.e^{\frac{ln2}{2}5}\\ \\ P(t)= P0*5,65685$

C) Seguindo o raciocínio da letra A, teremos:

$20.P0=P0.e^{\frac{ln2}{2}t}\\ \\ 20=e^{\frac{ln2}{2}t}\\ \\ \frac{ln2}{2}t=ln20\\ \\ 2ln20=ln2t\\ \\ t= \frac{2ln20}{ln2} = 8,643856$

Só lembrando que na A e C usei a relação entre logaritmos e exponenciais (função inversa).

Espero ter ajudado.