Question

Um míssil é disparado da origem, e a sua trajetória é definida através da função h(x)= -x² + 30x, onde h(x) é a altura atingida, em metros, e x é o tempo, em segundos. O tempo que o foguete leva para atingir o solo e as coordenadas do ponto máximo são, respectivamente:

A)10 segundos e V=(20,300)

B)30 segundos e V=(15,225)

C)20 Segundos e V=(10,300)

D)15 segundos e V=(30,250) ​

Answer 1

Resposta:

B) 30 segundos e V=(15,225)

Explicação passo a passo:

Por se tratar de equação de 2º grau vamos utilizar Bhaskara para solucionar quando o foguete atinge o solo.

Lembrando que ao igualar uma equação de segundo grau a zero, estamos dizendo que a ordenada "y" no gráfico cartesiano será igual a zero para determinado valor de "x", por se tratar de uma parábola, teremos dois valores que "cortam" o eixo "x", ou seja, dois valores para "y" (h) igual a zero. Quando h for igual a zero o foguete está no chão. E como a solução vem da resolução de uma raiz quadrada (operação inversa a potência 2) chamamos esses valores de "raízes da função". Vamos à resolução:

Sendo uma função quadrática, do tipo:

$ax^{2} +bx+c=0$

Podemos dizer que suas raízes são descritas por:

$x=\frac{-b\frac{+}{} \sqrt{b^{2} -4ac} }{2a}$

Assumindo dois valores para "x", pois a raiz quadrada pode ser positiva ou negativa. Para as funções em questão temos:

a)

$h(x)=-x^{2} +30x$

Para h(x)=0:

$-x^{2} +30x$

$x_{1} =\frac{-30+\sqrt{30^{2} -4(-1).0} }{2.(-1)}$

$x_{1} =\frac{-30+\sqrt{900 } }{-2}$

$x_{1} =\frac{-30+30 }{-2}=0$

Apesar dessa raiz já ser conhecida, pois o problema nos disse que o foguete partiu da origem, podemos ainda assim confirmar a informação

Agora vamos ao segundo momento do foguete ao solo:

b)

$h(x)=-x^{2} +30x$

Para h(x)=0:

$-x^{2} +30x$

$x_{1} =\frac{-30-\sqrt{30^{2} -4(-1).0} }{2.(-1)}$

$x_{1} =\frac{-30-\sqrt{900 } }{-2}$

$x_{1} =\frac{-30-30 }{-2}=30$

Ou seja, como a coordenada x representa o tempo, aos 30 segundos o foguete toca o solo novamente!!

Agora vamos à segunda parte da questão, descobrir qual o ponto mais alto atingido pelo foguete.

Para descobrir qual é o vértice, podemos utilizar o conceito de derivada da função, que nos dá o coeficiente angular da reta que tangencia a função num ponto qualquer, logo, se igualarmos esse coeficiente angular (derivada da função) a zero teremos uma reta na horizontal, ou seja, em um ponto máximo ou mínimo da função. Ao analisar a equação de percebemos que o termo que multiplica com a variável quadrática é menor que zero (negativo), logo se trata de uma parábola com concavidade voltada para baixo, então nosso vértice será um ponto máximo da parábola. Derivando :

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}$

Aplicando no limite:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(-(x+\Delta x)^{2}+30(x+\Delta x)) -(-x^{2}+30x )}{\Delta x}$

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(-(x^{2} +2x\Delta x+\Delta x^{2} )+30x+30\Delta x) -(-x^{2}+30x )}{\Delta x}$

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(-x^{2} -2x\Delta x-\Delta x^{2} +30x+30\Delta x +x^{2}-30x )}{\Delta x}$

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2x\Delta x-\Delta x^{2} +30\Delta x }{\Delta x}$

$\lim_{\Delta x \to 0} -2x-\Delta x +30 =-2x+30$

ou

$\frac{dh}{dx} =-2x+30$

Agora vamos igualar a derivada a zero pra encontrarmos o ponto em que é máximo (vértice):

$-2x+30=0\\2x=30\\x=15$

Agora aplicando na função para encontrar a coordenada "h" usando x=15:

$h(x)=-x^{2} +30x$

$h(15)=-(15^{2}) +30.(15)$

$h(15)=-225 +450$

$h(15)=225$

O vértice (ponto máximo) da função dada está em:

$h_{max} :(15,225)$