Question

Um microempreendedor individual pretende obter um empréstimo de R$12.600,00 para pagar em 3 prestações. Ele está em dúvida entre as duas propostas, ambas com taxa de juro de 1,5% a.m:
•A: com o sistema Price;
•B: com o sistema de amortização constante (SAC)
Considerando apenas o valor total final pago por esse empréstimo, determine qual das propostas é mais vantajosa.

Answer 1

Para podermos responder ao que foi perguntado, precisaremos calcular o valor final que seria pago pelo microempreendedor pelos dois sistemas de pagamento.

No SAC (sistema de amortização constante), como sugere o nome, a amortização da dívida em cada parcela é mantida constante e a prestação tem valor variável.

Por outro lado, no sistema Price, a prestação é mantida constante e a amortização da dívida, variável.

Proposta SAC

A amortização será calculada dividindo-se o valor do empréstimo (12600 reais) pelo número de prestações que serão pagas (3):

$\sf Amortizac\tilde{a}o~=~\dfrac{12600}{3}\\\\\boxed{\sf Amortizac\tilde{a}o~=~4200~reais}$

Os juros em cada prestação incidem sobre o saldo devedor atual, assim, para nos auxiliar, vamos montar uma tabela:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\cline{1-5}&&&&\\\sf Mes&\sf Amortizacao&\sf Juros&\sf Prestacao&\sf Saldo~Devedor\\\cline{1-5}0&&&&\sf 12\,600\\\sf 1&\sf 4200&\sf J_1&\sf 4200+J_1&\sf 8\,400\\\sf 2&\sf 4200&\sf J_2&\sf 4200+J_2&\sf 4\,200\\\sf 3&\sf 4200&\sf J_3&\sf 4200+J_3&\sf 0\\\cline{1-5} \end{array}$

Vamos então calcular os juros J₁, J₂ e J₃, que incidem respectivamente sobre os saldos devedor de 12600, 8400 e 4200:

$\boxed{\sf J~=~C\cdot i\cdot n}$

$\sf J_1~=~12600\cdot \dfrac{1,5}{100}\cdot 1\\\\\\J_1~=~\dfrac{12600\cdot 1,5\cdot 1}{100}\\\\\\J_1~=~126\cdot 1,5\\\\\\\boxed{\sf J_1~=~189}$

$\sf J_2~=~8400\cdot \dfrac{1,5}{100}\cdot 1\\\\\\J_2~=~\dfrac{8400\cdot 1,5\cdot 1}{100}\\\\\\J_2~=~84\cdot 1,5\\\\\\\boxed{\sf J_2~=~126}$

$\sf J_3~=~4200\cdot \dfrac{1,5}{100}\cdot 1\\\\\\J_3~=~\dfrac{4200\cdot 1,5\cdot 1}{100}\\\\\\J_3~=~42\cdot 1,5\\\\\\\boxed{\sf J_3~=~63}$

Somando-se as três prestações, teremos o valor final no sistema SAC:

$\sf Valor~final~=~(4200+189)~+~(4200+126)~+~(4200+63)\\\\\\\boxed{\sf Valor~final~=~12978~reais}$

Proposta Price

Nesse sistema, para calcularmos o valor de cada prestação, há uma forma simplificada, utilizando-se a seguinte fórmula:

$\boxed{\sf Prestac\tilde{a}o~=~Emprestimo\cdot \dfrac{(1+i)^n\cdot i}{(1+i)^n-1}}$

Onde "i" e "n" são, respectivamente, a taxa de juros e o número de prestações que serão pagas.

Substituindo os valores, temos:

$\sf Prestac\tilde{a}o~=~12600\cdot \dfrac{\left(1+\dfrac{1,5}{100}\right)^3\cdot \dfrac{1,5}{100}}{\left(1+\dfrac{1,5}{100}\right)^3-1}\\\\\\\sf Prestac\tilde{a}o~=~12600\cdot \dfrac{1,045678375\cdot \dfrac{1,5}{100}}{1,045678375-1}\\\\\\\sf Prestac\tilde{a}o~=~12600\cdot \dfrac{0,015685175625}{0,045678375}\\\\\\\sf Prestac\tilde{a}o~\approx~12600\cdot 0,3434\\\\\\\boxed{\sf Prestac\tilde{a}o~\approx~4326,84}$

Multiplicando o valor da prestação por 3, temos o valor final no sistema Price:

$\sf Valor~final~=~3\cdot 4326,84\\\\\\\boxed{\sf Valor~final~=~12980,52~reais}$

Com isso, concluímos que, não sendo dadas quaisquer outras condições à parte do valor final, a proposta via SAC será mais vantajosa.

Resposta: A proposta no SAC é mais vantajosa.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$