Question

Um menino constrói um disparador de pedrinha, a qual consegue disparar pedrinha com a velocidade de 10 m/s. Após, ele coloca um pequeno alvo na parede, a altura de 2 metros, e pretenda acertá-lo, para tanto, ele coloca o disparador no chão com ângulo de 45°. Desprezando o atrito aerodinâmico, a qual menor distância da parede ele acertará o alvo?

Answer 1

Resposta:

2.73 metros.

Explicação:

A velocidade $v_0$ pode ser decomposta:

$v_0_x=v_0\cos{\theta}\\ v_0_y=v_0\sin{\theta}$

No movimento oblíquo, devido ao Princípio da Independência dos Movimentos de Galileu, as posições x e y do objeto são dadas por:

$x=v_0_x t\ \therefore\ \boxed{x=(v_0\cos{\theta})t}\ \therefore\ t=\dfrac{x}{v_0\cos{\theta}}\\\\ y=y_0+v_0_yt-\dfrac{1}{2}gt^2\ \therefore\ \boxed{y=(v_0\sin{\theta})t-\dfrac{1}{2}gt^2}$

Substituindo t na segunda equação, podemos obter a posição x em função da altura y do objeto:

$y=(v_0\sin{\theta})\dfrac{x}{v_0\cos{\theta}}-\dfrac{1}{2}g\bigg(\dfrac{x}{v_0\cos{\theta}}\bigg)^2\ \therefore\\\\ \boxed{y=x\tan{\theta}-\bigg(\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2{\theta}}\bigg)x^2}$

Assim, para $y=2\ m$, $v_0=10\ m/s$, $\theta_0=\dfrac{\pi}{4}$ e $g\approx9.81\ m/s^2$, teremos:

$2=x\tan{\dfrac{\pi}{4}}-\dfrac{9.81}{2(10)^2\bigg(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\bigg)^2}x^2\ \therefore\\\\ 2=x(1)-\dfrac{9.81}{100}x^2\ \therefore\ 9.81x^2-100x+200=0$

Utilizando a Fórmula Quadrática de Brahmagupta, obteremos os possíveis valores de x:

$x=\dfrac{-(-100)\pm\sqrt{(-100)^2-4(9.81)(200)}}{2(9.81)}\ \therefore\\\\ x=\dfrac{100\pm\sqrt{2152}}{2(9.81)}=\dfrac{50\pm\sqrt{538}}{9.81}\approx \dfrac{50\pm23.195}{9.81}\\\\ x_1=\dfrac{50-23.195}{9.81}\ \therefore\ \boxed{x_1\approx2.73\ m}\\\\ x_2=\dfrac{50+23.195}{9.81}\ \therefore\ \boxed{x_2\approx7.46\ m}$

A menor distância horizontal da parede da qual a pedrinha acertará o alvo é igual a aproximadamente 2.73 metros.