Question

Um matemático deseja resolver a equação 8 – 4,5[x -sen(x)] = 0 empregando um método numérico. Essa equação tem garantia de raiz dentro do intervalo

Answer 1

Resposta:

3

Explicação passo a passo:

Answer 2

Independente do método numérico que será utilizado e aplicando o Teorema de Bolzano conseguimos verificar que há pelo menos uma raiz no intervalo [2, 3].

Equação Transcendente - Método Numérico

A equação dada é uma equação não algébrica ou transcendente, é assim denominada pois é formada pela composição entre uma função polinomial e uma trigonométrica.

Equações deste tipo não possuem métodos algébricos de resolução, apenas podem ser resolvidas aplicando algum método numérico como: ponto fixo, bisseção, Newton, entre outros.

O primeiro passo para resolução é determinar um intervalo para o qual tenhamos a garantia de pelo menos uma raiz. Para isto, podemos utilizar o Teorema de Bolzano para funções contínuas que diz:

Teorema de Bolzano: Seja f uma função contínua num intervalo [a,b] pertencente ao seu domínio, teremos:

• Se f(a) . f(b) < 0, então há uma quantidade ímpar de raízes no intervalo ]a,b[.
• Se f(a) . f(b) > 0, então há uma quantidade par de raízes no intervalo ]a,b[.
• Se f(a) . f(b) = 0, então a e/ou b são raízes.

Dada a equação:

$8-\dfrac{9}{2}\cdot (x-\sin x)=0$

Vamos considerar a seguinte função:

$f(x)=8-\dfrac{9}{2}\cdot (x- \sin x)$

Aplicamos o Teorema de Bolzano para intervalos reais e como a função é contínua em todo o seu domínio, vamos verificar os intervalos [1,2] e [2,3].

• Para o intervalo [1,2] temos:

$f(1)=8-\dfrac{9}{2}\cdot (1- \sin 1)\approx 7,286\\\\f(2)=8-\dfrac{9}{2}\cdot (2- \sin 2)\approx 3,091$

Neste caso não podemos garantir que haja soluções neste intervalo, pois temos pelo Teorema de Bolzano uma quantidade par de raízes e como zero é par, podemos não ter raízes no intervalo.

• Para o intervalo [2,3] temos:

$f(2)=8-\dfrac{9}{2}\cdot (2- \sin 2)\approx 3,091\\\\f(3)=8-\dfrac{9}{2}\cdot (3- \sin 3)\approx -4,864$

Neste caso podemos garantir que haja pelo menos uma solução real pertencente a este intervalo.

Uma forma de auxiliar na descoberta do intervalo é fazer uso do gráfico das funções escrevendo a equação como igualdade de duas funções g(x) e h(x). E onde ocorrer a interseção entre os gráficos esse será o ponto que representa a raiz da função f(x).

$0=8-\dfrac{9}{2}x+\dfrac{9}{2}\sin x\Rightarrow g(x)=\dfrac{9}{2}x-8 \ e \ h(x)=\dfrac{9}{2}\sin x$

Para saber mais sobre Métodos Numéricos acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/27538867

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