Question

um matemático construiu um triângulo sobre o primeiro quadrante do plano cartesiano de tal forma que dois de seus lados repousam sobre o eixo de coordenadas, o ponto de coordenadas (1,3)pertence ao seu terceiro lado e a origem do plano cartesiano é um de seus vértices. Como o matemático tem a intenção de revestir o triângulo em ouro, usou todos os seus conhecimentos para construir um triângulo com a menor área possível. Esta área é:

Answer 1

Calculando os pontos críticos da função área, temos que, o valor mínimo é 6 unidades de área.

Função área

Como o triângulo possui duas arestas sobre os eixos de coordenadas, temos que, os seus vértices podem ser expressos por (x,0), (0,0) e (0,y). Dessa forma, a área do triângulo é dada por:

$\dfrac{xy}{2}$

Como o terceiro lado passa pelo ponto (1,3), utilizando a equação da reta, podemos escrever:

$y = ax+b$

$3 = a + b$

$b=3-a$

Ou seja, o terceiro lado está sobre a reta:

$y = ax + 3 - a$

Tomando x = 0 e y = 0 nessa equação, obtemos os dois vértices restantes desse triângulo:

$x = \dfrac{a-3}{a}$

$y = 3-a$

A área do triângulo é dada por:

$A(a) = \dfrac{xy}{2} = \dfra{-a^2 + 6a -9}{2a}$

Valor mínimo

Para calcular o valor mínimo da função área podemos utilizar a derivada para calcular os pontos críticos:

$\dfrac{d}{da} A(a) = \dfrac{-a^2 +9}{2a^2}$

Temos os seguintes pontos críticos:

$a = \pm 3$

Como a é negativo, pois a reta é decrescente, temos que, a = -3, logo, a área mínima é:

$\dfrac{36}{6} = 6$

Para mais informações sobre derivada, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/48098014

#SPJ1