Question

Um mapa é feito em uma escala de 1 cm para cada 200 km. O município onde se encontra a capital de certo estado está representado, nesse mapa, por um losango que tem um ângulo de 120 e cuja diagonal menor mede 0,2 cm. Determine a área desse município.

Answer 1

Olá!

Um losango é um quadrilátero de lados iguais, compostos por uma diagonal maior e uma diagonal menor, onde os ângulos opostos são de igual valor.

Assim, sabemos que 1 dos ângulos do losango é de 120º, logo o ângulo oposto deve ser de 120º também. Como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero deve somar 360º, oo demais ângulos devem ser de 60º.

Se partirmos um losango em 4 triângulos retângulos, vamos ter triângulos com ângulos interno de 30º 60º e 90º, com um cateto de 0,1 cm. Assim podemos descobrir o valor do outro cateto:

$sen \alpha = \frac{cateto oposto}{hipotenusa}$

$sen 30º = \frac{0,1}{hipotenusa}$

hipotenusa = 0,2

$cos \alpha = \frac{cateto adjacente}{hipotenusa}$

$cos 30º = \frac{cateto adjacente}{0,2}$

cateto adjacente = 0,1732

Logo, a diagonal maior é igual a :

d = 0,1732 . 2

d = 0,3464

A área do Losango é dada por:

$A = \frac{D . d}{2}$

$A = \frac{0,3464 . 0,2}{2}$

A = 0,03464 cm²

Se

1 cm = 200 km

1 cm² = 40.000 km²

Logo

A = 0,03464 cm²

A = 1.385,64 km²

A área da cidade é igual a 1.385,64 km².